حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية

يقوم هذا الدرس على إيجاد قيم المتغيرات داخل اللوغاريتمات في المعادلات والمتباينات. نستخدم لتحقيق ذلك خصائص اللوغاريتمات وتحويل العبارات اللوغاريتمية إلى صور أُسية، أو تطبيق خاصية المساواة والتباين للدوال اللوغاريتمية بشرط أن تكون الأساسات متساوية وأن تبقى ما داخل اللوغاريتمات موجبة دائماً. فمثلاً لحل المعادلة $\log_{36} x = \frac{3}{2}$ نحولها إلى الصورة الأُسية $x = 36^{\frac{3}{2}}$ ليصبح الناتج $216$. وعلينا دائماً التحقق من صحة الحلول باستبعاد أي قيمة تجعل ما داخل اللوغاريتم سالباً أو صفراً لأنها حلول دخيلة مرفوضة.

الفكرة الأساسية

يعتمد هذا الدرس على طريقتين رئيسيتين: إما تحويل المعادلة أو المتباينة اللوغاريتمية إلى صورتها الأُسية لفك اللوغاريتم وإيجاد المجهول، أو استخدام خاصية المساواة والتباين للوغاريتمات المتساوية الأساس لحذف اللوغاريتم والتعامل مع عبارة جبرية مباشرة، مع التأكد من شروط المجال.

الشرح

عندما تواجه معادلة تحتوي على لوغاريتم مثل $\log_b x = y$ فالفكرة هي تحويلها إلى صورة أُسية $x = b^y$ لكي تتمكن من حساب قيمة المجهول. وإذا ظهرت لوغاريتمات متعددة في طرفي المعادلة بنفس الأساس، فنستخدم خاصية المساواة للوغاريتمات $\log_b x = \log_b y$ والتي تعني مباشرة أن $x = y$. أما في المتباينات، فنستخدم خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية التي تنص على أنه إذا كان $b > 1$ وكانت $\log_b x > \log_b y$ فإن $x > y$ مع الحفاظ على نفس اتجاه التباين، وضرورة استثناء القيم التي تجعل ما داخل اللوغاريتم أقل من أو يساوي الصفر.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل المعادلة $\log_6 x + \log_6 (x - 9) = 2$ نتبع الآتي:

1. نستخدم خاصية الضرب في اللوغاريتمات لدمج الطرف الأيمن: $\log_6 [x(x - 9)] = 2$.
2. نحول المعادلة اللوغاريتمية إلى صورتها الأُسية: $x(x - 9) = 6^2$.
3. نبسط ونرتب المعادلة التربيعية: $x^2 - 9x - 36 = 0$.
4. نحلل العبارة إلى عوامل: $(x - 12)(x + 3) = 0$.
5. نجد الجذور باستخدام خاصية الضرب الصفري: $x = 12$ أو $x = -3$.
6. نتحقق من الحلول: عند تعويض $x = 12$ ينتج $\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 36 = 2$ وهو حل صحيح. وعند تعويض $x = -3$ ينتج $\log_6 (-3)$ وهو غير معرف لأن ما داخل اللوغاريتم سالب، إذن يُرفض الحل $-3$ ويصبح الحل الوحيد هو $x = 12$.

أخطاء شائعة

• نسيان استبعاد الحلول الدخيلة التي تجعل ما داخل اللوغاريتم سالباً أو صفراً عند التحقق.
• تطبيق خواص اللوغاريتمات على أساسات مختلفة دون توحيدها مسبقاً.
• تغيير اتجاه متباينة اللوغاريتم بالخطأ رغم أن الأساس أكبر من الواحد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $\log_9 x = \frac{3}{2}$. الإجابة: $x = 27$. السؤال الثاني: حل المتباينة $\log_3 x > 4$. الإجابة: مجموعة الحل هي الذكر الصفاتي للمجموعة $\{x \mid x > 81, x \in \mathbb{R}\}$.