العمليات على الدوال وتركيب دالتين

يقوم هذا الدرس على فكرة إجراء العمليات الجبرية الأربع (الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة) بين دالتين، إلى جانب فكرة جديدة تسمى تركيب دالتين. في العمليات الأربع، نجمع قواعد الدوال أو نطرحها أو نضربها أو نقسمها مع مراعاة تقاطع مجالاتها، مع استثناء القيم التي تجعل مقام دالة القسمة صفراً. أما تركيب دالتين [f igcirc g](x) فيعني إيجاد قيمة دالة داخل دالة أخرى، أي تطبيق الدالة $g$ أولاً ثم تطبيق الدالة $f$ على الناتج. فمثلاً لو كانت $f(x) = x^2$ و $g(x) = x - 4$ فإن تركيبهما هو [f igcirc g](x) = f(g(x)) = (x - 4)^2. مع ضرورة الانتباه لمجال الدالة الناتجة والقيود التي يفرضها مجال الدالة الداخلية على الدالة الناتجة لتجنب القيم غير المعرفة مثل الجذور السالبة أو القسمة على صفر.

الفكرة الأساسية

يتناول هذا الدرس بناء دالات جديدة إما عبر العمليات الجبرية المعتادة (الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة) بين دالتين مختلفتين، أو عبر عملية دمج فريدة تسمى تركيب دالتين. في العمليات الجبرية نطبق العمليات على قواعد الدوال بشكل مباشر، بينما في التركيب نقوم بإدخال قاعدة دالة كاملة كمتغير داخل دالة أخرى، مما ينتج عنه دالة جديدة كلياً.

الشرح

لكل دالتين $f$ و $g$ مجال تقاطع، فإذا أردنا إجراء العمليات الأربع فنحن نطبق القواعد التالية لجميع قيم $x$ الموجودة في تقاطع المجالين:

• الجمع: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
• الطرح: $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$
• الضرب: (f ullet g)(x) = f(x) ullet g(x)
• القسمة: (rac{f}{g})(x) = rac{f(x)}{g(x)} بشرط أن $g(x) eq 0$

أما في تركيب دالتين، فنحن نعرف تركيب الدالتين $f$ و $g$ على النحو الآتي: [f igcirc g](x) = f(g(x)). وتقرأ الدالة $f$ بعد $g$ أو $f$ تركيب $g$، حيث تطبق الدالة $g$ أولاً ثم تطبق الدالة $f$ على الناتج. ويتكون مجال الدالة [f igcirc g] من جميع قيم $x$ في مجال الدالة $g$ على أن تكون $(x)g$ في مجال الدالة $f$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كانت $f(x) = x^2 + 1$ و $g(x) = x - 4$ فأوجد [f igcirc g](x). الخطوة الأولى: نكتب تعريف التركيب: [f igcirc g](x) = f(g(x)) الخطوة الثانية: نعوض بقاعدة الدالة الداخلية $g(x)$ مكان $x$ في الدالة الخارجية $f$: $= f(x - 4)$ الخطوة الثالثة: نأخذ المقدار $(x - 4)$ ونعوض به بدل كل $x$ في قاعدة الدالة $f(x) = x^2 + 1$: $= (x - 4)^2 + 1$ الخطوة الرابعة: نبسط العبارة بفك القوس التربيعي: $= x^2 - 8x + 16 + 1$ $= x^2 - 8x + 17$

أخطاء شائعة

• الخلط بين ترتيب التركيب؛ فإن [f igcirc g](x) لا يساوي غالباً [g igcirc f](x) لأن تركيب الدوال ليس إبدالياً.
• إغفال تحديد القيود على المجال عند تركيب الدوال، مثل نسيان استثناء قيم $x$ التي تجعل الدالة الداخلية خارج مجال الدالة الخارجية (كوجود جذور زوجية سالبة أو قسمة على صفر).
• توزيع الأسس بشكل خاطئ عند فك الأقواس في تركيب الدوال مثل كتابة $(x - 4)^2$ على صورة $x^2 + 16$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت $f(x) = 3x + 1$ و $g(x) = 5 - x^2$ فأوجد [f igcirc g](3). الإجابة: أولاً نوجد $g(3) = 5 - (3)^2 = 5 - 9 = -4$. ثم نعوض بالناتج في الدالة $f$: $f(-4) = 3(-4) + 1 = -12 + 1 = -11$.

السؤال الثاني: إذا كانت $f(x) = x^2 - 3$ و g(x) = ar{x}، فأوجد مجال الدالة [f igcirc g]. الإجابة: مجال الدالة الداخلية g(x) = ar{x} هو [0, o ar{ullet}) أي $x eq 0$. وعند التعويض في$f$ينتج$( ar{x} )^2 - 3 = x - 3$وهو مجال حقيقي، لكن القيود تظل تابعة للدالة الداخلية، لذا مجال التركيب هو جميع الأعداد الحقيقية حيث$x eq 0$أو الفترة$[0, o ar{ullet})$. ملاحظة: الرمز يشير للجذر التربيعي حسب مطبوع الكتاب.