الدوال الرئيسة (الأم) والتحويلات الهندسية

يقوم هذا الدرس على فكرة أساسية تتمثل في وجود دوال أساسية تُسمى الدوال الرئيسة الأم، مثل دالة الجذر التربيعي $f(x) = \sqrt{x}$ أو القيمة المطلقة $f(x) = |x|$، والتي يمكن استنتاج تمثيلات الدوال الأخرى الأكثر تعقيداً من خلال إحداث تعديلات هندسية عليها. تشمل هذه التحويلات الانسحاب الرأسي والأفقي الذي ينقل المنحة مكاناً، والانعكاس حول المحاور الإحداثية، والتمدد الرأسي أو الأفقي الذي يغير أبعاد الشكل أو يمطّه. فعندما يكون لدينا دالة مثل $g(x) = |x + 3| - 2$، فإننا نأخذ دالة القيمة المطلقة الأم، ثم نجري عليها انسحاباً أفقياً إلى اليسار بمقدار $3$ وحدات، وانسحاباً رأسياً إلى الأسفل بمقدار وحدتين لنحصل على التمثيل البياني الجديد بكل سهولة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول عائلات الدوال الرياضية التي تنطلق من دالة أبسط تسمى الدالة الرئيسة الأم. من خلال إجراء تحويلات هندسية محددة مثل الانسحاب، والانعكاس، والتمدد على منحنى الدالة الأم، يمكنك رسم وتحليل دوال جديدة أكثر تعقيداً دون الحاجة لتعيين نقاط كثيرة جداً في الجدول.

الشرح

الدوال الرئيسة الأم هي أبسط صورة لدالة في كل عائلة، مثل دالة القيمة المطلقة $f(x) = |x|$، أو الدالة التربيعية $f(x) = x^2$، أو دالة الجذر التربيعي $f(x) = \sqrt{x}$. عندما نغير في قاعدة هذه الدوال، فإننا نحدث تحويلات هندسية تنقسم إلى نوعين: أولاً: التحويلات القياسية، وتؤثر على موقع المنحنى فقط دون تغيير شكله أو أبعاده، وتضم:

• الانسحاب الرأسي: بإضافة عدد موجب $k$ إلى خارج الدالة $f(x) + k$ يرتفع المنحنى إلى أعلى، وبطرحه ينخفض إلى أسفل.
• الانسحاب الأفقي: بطرح عدد موجب $h$ من المتغير داخل الدالة $f(x - h$ يتحرك المنحنى إلى اليمين، وبإضافته $f(x + h)$ يتحرك إلى اليسار.
• الانعكاس: بضرب الدالة في إشارة سالبة $-f(x)$ ينعكس المنحنى حول محور $x$، وبوضع الإشارة السالبة داخل المتغير $f(-x)$ ينعكس حول محور $y$. ثانياً: التحويلات غير القياسية، وتغير شكل أو أبعاد المنحنى، وتضم التمدد الرأسي والأفقي (التوسيع والتضيق) بناءً على قيمة المعامل $a$.

مثال محلول خطوة بخطوة

استعمل منحنى الدالة الرئيسة الأم $f(x) = |x|$ لتمثيل الدالة $g(x) = |x + 3| - 1$ بيانيا. الخطوة الأولى: حدد الدالة الرئيسة الأم وهي دالة القيمة المطلقة $f(x) = |x|$ التي يأخذ منحناها شكل حرف V. الخطوة الثانية: افحص التعديلات على الدالة الأم. نلاحظ وجود الرقم $3$ داخل القيمة المطلقة مع المتغير مضافاً إليه، وهذا يمثل انسحاباً أفقياً إلى اليسار بمقدار $3$ وحدات. الخطوة الثالثة: نلاحظ وجود الرقم $1$ مطروحاً خارج القيمة المطلقة، وهذا يمثل انسحاباً رأسياً إلى الأسفل بمقدار وحدة واحدة. الخطوة الرابعة: خذ نقطة رأس المنحنى الأم وهي $(0, 0)$، وطبق عليها التحويلات لتصبح النقطة الجديدة هي $(-3, -1)$. ارسم حرف V بحيث يكون رأسه عند هذه النقطة الجديدة.

أخطاء شائعة

• الخلط في اتجاه الانسحاب الأفقي، مثل الظن أن إضافة عدد داخل القوس تنقل المنحنى إلى اليمين، بينما الصحيح أن إضافة موجب تنقل إلى اليسار وطرح موجب ينقل إلى اليمين.
• نسيان ترتيب التحويلات عند وجود أكثر من تحويل غير قياسي أو انعكاس مع انسحاب، مما يؤدي إلى وضع رأس المنحنى في إحداثيات خاطئة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: صف التحولات الهندسية التي تمت على الدالة الأم $f(x) = x^3$ للحصول على الدالة $h(x) = (x + 2)^3 + 4$. الإجابة: انسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار $2$ وحدة، وانسحاب رأسي إلى أعلى بمقدار $4$ وحدات. السؤال الثاني: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن إجراء انسحاب للدالة الأم $f(x) = \sqrt{x}$ بمقدار $5$ وحدات إلى اليمين وانسحاب رأسي إلى أسفل بمقدار $3$ وحدات. الإجابة: $g(x) = \sqrt{x - 5} - 3$