العلاقات والدوال العكسية

تقوم فكرة الدرس على عكس عملية الدالة الأصلية بحيث تعود القيم إلى مصدرها، فإذا كانت الدالة تؤدي عملاً ما، فإن دالتها العكسية تلغيه تماماً. لكي تكون للدالة العكسية دالة، يجب أن تكون متباينة وتجتاز اختبار الخط الأفقي. نجد الدالة العكسية جبرياً بتبديل المتغيرين س وص ثم حل المعادلة بالنسبة إلى ص، ويرمز لها بالرمز $f^{-1}(x)$. هندسياً، يمثل منحنى الدالة العكسية انعكاساً لمنحنى الدالة الأصلية حول المستقيم $y = x$. مثال سريع: إذا كانت الدالة $f(x) = 2x$، فإن دالتها العكسية هي $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$ لأنها تقسم الناتج على اثنين لتعيد القيمة الأصلية.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول إلغاء تأثير الدالة الأصلية واستعادة المدخلات من مخرجاتها. عندما تؤدي الدالة $f$ تحويلاً معيناً على القيمة س لتنتج ص، فإن الدالة العكسية $f^{-1}$ تأخذ ص وتُرجعها إلى س. يشترط لوجود دالة عكسية أن تكون الدالة الأصلية متباينة، بمعنى ألا ترتبط أي قيمة للمدى بأكثر من قيمة في المجال، وهو ما نتحقق منه هندسياً باستخدام اختبار الخط الأفقي.

الشرح

نبدأ بالتحقق من وجود الدالة العكسية باستخدام اختبار الخط الأفقي؛ فإذا قطع أي خط أفقي منحنى الدالة في نقطة واحدة على الأكثر، فإن الدالة متباينة وتوجد لها دالة عكسية يرمز لها بالرمز $f^{-1}(x)$. لا يجب اللبس بين هذه الكتابة وبين مقلوب الدالة $\frac{1}{f(x)}$. لإيجاد الدالة العكسية جبرياً، نتبع خطوات محددة: أولاً نكتب الدالة على صورة $y = f(x)$، ثم نبدل موقعي المتغيرين س وص لتصبح المعادلة $x = f(y)$، بعد ذلك نحل المعادلة الجديدة بالنسبة إلى المتغير الجديد ص، ونستبدل بالصيغة الناتجة $f^{-1}(x)$. هندسياً، يكون منحنى الدالة العكسية انعكاساً كاملاً لمنحنى الدالة الأصلية حول المستقيم المحايد $y = x$. كما أن تركيب الدالة مع عكسها يعطي دائماً دالة المحايدة، أي أن $f[f^{-1}(x)] = x$ و $f^{-1}[f(x)] = x$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد الدالة العكسية للدالة $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ إن أمكن. الخطوة الأولى: نتحقق من وجود الدالة العكسية بتمثيلها بيانيا وملاحظة أنها تحقق اختبار الخط الأفقي، إذن الدالة متباينة وتوجد لها دالة عكسية. الخطوة الثانية: نكتب الدالة بدلالة ص ونعوض $y$ مكان $f(x)$ لتصبح المعادلة $y = \frac{x-1}{x+2}$. الخطوة الثالثة: نبدل بين المتغيرين س وص لتصبح المعادلة $x = \frac{y-1}{y+2}$. الخطوة الرابعة: نحل المعادلة بالنسبة للمتغير ص. نضرب الطرفين في $(y+2)$ لنتخلص من الكسر فينتج $xy + 2x = y - 1$. ننقل الحدود التي تحتوي على ص إلى طرف واحد $xy - y = -2x - 1$. نستخدم خاصية التوزيع بأخذ ص عاملاً مشتركاً فيصبح لدينا $y(x - 1) = -2x - 1$. نقسم الطرفين على $(x - 1)$ فنحصل على $y = \frac{-2x - 1}{x - 1}$. الخطوة الخامسة: نكتب الصيغة النهائية بستبدال $y$ بـ $f^{-1}(x)$ لتكون الدالة العكسية هي $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1}$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة الخلط بين رمز الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ ومقلوب الدالة $\frac{1}{f(x)}$، حيث يعبر الأول عن عكس التأثير بينما يعبر الثاني عن مقلوب القيمة العددية. ومن الأخطاء أيضاً إيجاد الدالة العكسية لدوال غير متباينة مثل الدوال التربيعية دون تقييد مجالها، مما يؤدي إلى ناتج لا يمثل دالة لأن الخط الأفقي يقطع المنحنى في أكثر من نقطة. كما يقع البعض في خطأ نسيان تحديد القيود على المجال والمدى للدالة العكسية الناتجة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الدالة العكسية للدالة $f(x) = x^3 - 9$. الإجابة: نبدل س وص لنحصل على $x = y^3 - 9$، ثم نضيف 9 للطرفين فينتج $x + 9 = y^3$، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين تصبح الدالة العكسية هي $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 9}$. السؤال الثاني: أثبت جبرياً أن كلًا من الدالتين $f(x) = 4x + 9$ و $g(x) = \frac{x-9}{4}$ تمثل دالة عكسية للأخرى. الإجابة: نحسب تركيب الدالتين في الاتجاهين؛ أولاً $f[g(x)] = f(\frac{x-9}{4}) = 4(\frac{x-9}{4}) + 9 = x - 9 + 9 = x$. وثانياً $g[f(x)] = g(4x + 9) = \frac{(4x + 9) - 9}{4} = \frac{4x}{4} = x$. بما أن الناتج في الحالتين يساوي س، إذن كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى.