القيم القصوى ومتوسط معدل التغير

يقوم هذا الدرس على دراسة سلوك الدوال من حيث التزايد والتناقص، وتحديد القيم القصوى المحلية والمطلقة، وحساب متوسط معدل التغير. الفكرة الأساسية هي معرفة كيف ترتفع الدالة أو تنخفض عند الانتقال من اليسار إلى اليمين، وكيف نجد أعلى وأدنى نقاط في الرسم البياني. فمثلاً، لو تحركت على منحنى الدالة ووجدت قمة جبلية، فتلك قيمة عظمى، ولو وجدت قاعاً، فتلك قيمة صغرى. أما متوسط معدل التغير فهو يمثل ميل القاطع الواصل بين نقطتين على منحنى الدالة، ويُحسب بالقانون m_{sec} = rac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}، وهو يشبه حساب السرعة المتوسطة في الفيزياء.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول قراءة الرسم البياني للدالة لمعرفة اتجاه حركتها: هل هي تصعد صعوداً متزايداً، أم تهبط هبوطاً متناقصاً، أم تظل ثابتة بلا تغير؟ كما نبحث عن قمم المنحنى وقيعانه لنعرف القيم الكبرى والصغرى، ونقيس سرعة التغير بين أي نقطتين على المنحنى.

الشرح

نبدأ أولاً بدراسة سلوك التزايد والتناقص. انظر إلى منحنى الدالة من اليسار إلى اليمين: إذا كانت قيم $x$ تزيد وقيم $f(x)$ تزيد معها، فالدالة متزايدة، ونكتبها بالرموز لكل $x_2 > x_1$ فإن $f(x_2) > f(x_1)$. وإذا كانت قيم $x$ تزيد بينما قيم $f(x)$ تنقص، فالدالة متناقصة، وحينها $f(x_2) < f(x_1)$. أما إن بقيت قيم $f(x)$ ثابتة لا تتغير مهما زادت $x$، فهي دالة ثابتة.

ثانياً، القيم القصوى. النقاط التي يتغير عندها سلوك الدالة من تزايد إلى تناقص أو العكس تسمى نقاطاً حرجة. إذا وجدنا قمة في الدالة تكون أكبر من القيم حولها فهي قيمة عظمى محلية، وإذا كانت الأكبر في مجال الدالة كله فهي عظمى مطلقة. وبالمثل، القاع يعد قيمة صغرى محلية، وإن كان الأصغر في المجال كله فهو صغرى مطلقة.

ثالثاً، متوسط معدل التغير. إذا سرت على خط غير مستقيم واختلف الميل بين نقطة وأخرى، فنحن نحتاج إلى حساب متوسط التغير بين نقطتين. القانون هو ميل المستقيم القاطع المار بالنقطتين $(x_1, f(x_1))$ و$(x_2, f(x_2))$، ويعطى بالعلاقة m_{sec} = rac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. هذا القانون يخبرك بمقدار التغير الذي حدث في ص مقابل التغير الذي حدث في س.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد متوسط معدل التغير للدالة $f(x) = -x^3 + 3x$ في الفترة الـمغلقة $[-2, -1]$. الخطوة الأولى: حدد قيمتي $x_1$ و$x_2$ من الفترة المعطاة. إذن $x_1 = -2$ و$x_2 = -1$. الخطوة الثانية: احسب قيمتي الدالة عند هذين العددين. عوض بـ $x_1 = -2$ في الدالة: $f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2) = -(-8) - 6 = 8 - 6 = 2$. وعوض بـ $x_2 = -1$: $f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$. الخطوة الثالثة: طبق قانون متوسط معدل التغير m_{sec} = rac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. الخطوة الرابعة: عوض بالقيم الناتجة في القانون: m_{sec} = rac{-2 - 2}{-1 - (-2)} = rac{-4}{-1 + 2} = rac{-4}{1} = -4. إذن متوسط معدل التغير هو $-4$.

أخطاء شائعة

• الخلط في ترتيب إطراح الإحداثيات في قانون متوسط معدل التغير، مثل وضع $f(x_1)$ في البسط بدلاً من $f(x_2)$، مما يغير إشارة الناتج بالكامل.
• كتابة فترات التزايد والتناقص باستخدام أقواس المجموعات أو النقاط بدلاً من الأقواس الهلالية الخاصة بالفترات.
• الظن بأن كل نقطة حرجة يجب أن تكون حتماً قيمة عظمى أو صغرى، بينما قد تكون نقطة انعطاف أو تغيراً أفقياً لا يمثل قمة أو قاعاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد متوسط معدل التغير للدالة $f(x) = x^3 - 3x + 2$ في الفترة $[0, 1]$. الإجابة: نعوض بـ $x_1 = 0$ و$x_2 = 1$. نجد أن $f(0) = 2$ و$f(1) = 0$. نطبق القانون: rac{0 - 2}{1 - 0} = rac{-2}{1} = -2.

السؤال الثاني: حدد ما إذا كانت الدالة $f(x) = -2x^3$ متزايدة أم متناقصة بيانيا وعمد إلى التعزيز عددياً. الإجابة: الدالة متناقصة في مجالها $(-\infty, \infty)$؛ لأن التمثيل البياني يهبط من اليسار إلى اليمين، وعند تكوين جدول للقيم نجد أنه كلما زادت قيم $x$ تناقصت قيم $f(x)$ بوضوح.