8-8 الدوال المثلثية العكسية (١)

تقوم الدوال المثلثية العكسية على إيجاد قياس الزاوية المجهولة عندما تكون قيمة دالتها المثلثية معلومة. وبما أن الدوال المثلثية متكررة وغير متباينة، فقد حُددت مجالات معينة لكل دالة عكسية لتصبح دالة حقيقية ذات قيمة أساسية واحدة. نستخدم رموزاً مثل $y = Sin^{-1} x$ أو $y = ext{Arcsin } x$، حيث يعود الناتج بقياس زاوية بالدرجات أو الراديان. مثال: إذا كان $an heta = 0.2$، فإننا نحسب قياس الزاوية بتطبيق معكوس الظل $heta = an^{-1} 0.2$ لنجد أن قياس الزاوية يساوي تقريباً $11^\circ$.

الفكرة الأساسية

تعتمد الدوال المثلثية العكسية على عكس عمل الدوال المثلثية الأصلية؛ فبدلاً من إدخال زاوية وإيجاد قيمتها العددية، ندخل القيمة العددية الناتجة لنستخرج قياس الزاوية المجهولة. ولأن الدوال المثلثية الأصلية دورية وتتكرر قيمها بلا توقف، تم تقييد مجالاتها لتصبح دوال عكسية ذات قيم أساسية محددة وواضحة.

الشرح

نبدأ بتذكّر العلاقة الأساسية: إذا كان $y = ext{sin } x$، فإن معكوسها هو $x = ext{sin } y$، ونكتبه على صورة $y = ext{Sin}^{-1} x$ أو $y = ext{Arcsin } x$. وحتی تكون هذه العلاقة دالة صحيحة، يجب حصر مجالها لتكون قيمة الزاوية $y$ واقعة ضمن مجالات القيم الأساسية:

• دالة الجيب العكسية: $y = ext{Sin}^{-1} x$، حيث $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ أو $-90^\circ \leq y \leq 90^\circ$، ومجالها $[-1, 1]$.
• دالة جيب التمام العكسية: $y = ext{Cos}^{-1} x$، حيث $0 \leq y \leq \pi$ أو $0^\circ \leq y \leq 180^\circ$، ومجالها $[-1, 1]$.
• دالة الظل العكسية: $y = ext{Tan}^{-1} x$، حيث $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ أو $-90^\circ < y < 90^\circ$، ومجالها مجموعة الأعداد الحقيقية. وعند حل المعادلات المثلثية، نستخدم هذه الدوال العكسية لإيجاد زوايا المجهول مع الاستعانة بالآلة الحاسبة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة $\text{Cos}^{-1} (-\frac{1}{2})$ بالدرجات والراديان. الخطوة الأولى: حدد المطلوب وهو إيجاد الزاوية $\theta$ حيث $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ والتي قيمة جيب تمامها تساوي $-\frac{1}{2}$. الخطوة الثانية: بما أن قيمة جيب التمام سالبة، إذن زاوية $\theta$ تقع في الربع الثاني. الخطوة الثالثة: أوجد الزاوية المرجعية الحادة $\theta'$ التي تحقق $\text{cos } \theta' = \frac{1}{2}$، وهي تساوي $60^\circ$ أو $\frac{\pi}{3}$. الخطوة الرابعة: احسب قياس الزاوية في الربع الثاني بطرح الزاوية المرجعية من $180^\circ$: $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ وبالراديان تساوي $\frac{2\pi}{3}$. إذن $\text{Cos}^{-1} (-\frac{1}{2}) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن دالة الجيب العكسية تعطي زوايا في جميع الأرباع دون الانتباه إلى المجالات المقيدة للقيم الأساسية.
• نسيان تحويل نظام الآلة الحاسبة بين الدرجات والراديان حسب المطلوب في السؤال.
• الخلط بين إشارات الدوال المثلثية في الأرباع المختلفة عند إيجاد الزوايا سالبة الجيب أو جيب التمام.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة $\text{Tan}^{-1} 1$. الإجابة: $45^\circ$ أو $\frac{\pi}{4}$. السؤال الثاني: حل المعادلة $\text{Sin } \theta = 0.35-$ لأقرب جزء من عشرة. الإجابة: $\theta \approx -20.5^\circ$.