8-7 تمثيل الدوال المثلثية بيانيا

يقوم هذا الدرس على تمثيل الدوال المثلثية بيانيا مثل الجيب وجيب التمام والظل ومقلواتها، ومعرفة خصائصها كالسعة وطول الدورة. السعة هي نصف الفرق بين القيمتين العظمى والصغرى وتساوي القيمة المطلقة للعدد المضروب في الدالة، بينما طول الدورة يعتمد على معامل الزاوية. مثلا في الدالة $y = 4 \cos 3\theta$ تكون السعة هي $|4| = 4$ وطول الدورة يساوي $360^\circ / |3| = 120^\circ$، مما يعني أن المنهج يكرر نفسه كل مئة وعشرين درجة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول رسم منحنيات الدوال المثلثية وفهم كيف تتغير أشكالها على المستوى الإحداثي بناء على تغير قيم معادلاتها. انظر إلى الصورة العامة للدالة $y = a \sin b\theta$ أو $y = a \cos b\theta$، حيث يحدد العدد $a$ سعة المنحنى، بينما يحدد العدد $b$ طول الدورة.

الشرح

لكل دالة مثلثية أم خصائص أساسية يجب حفظها وفهمها عند الرسم. السعة تعبر عن مدى ارتفاع المنحنى وانخفاضه عن محور التماثل، وتحسب بالقيمة المطلقة للعدد $a$ أي $|a|$، وهي تساوي نصف الفرق بين القيمتين العظمى والصغرى. أما طول الدورة فهو المسافة الأفقية التي يستغرقها المنحنى ليكرّر النمط نفسه، ويُحسب لدالتي الجيب وجيب التمام بالقانون $\frac{360^\circ}{|b|}$، بينما يُحسب لدالة الظل بالقانون $\frac{180^\circ}{|b|}$. الدوال الأخرى مثل قاطع التمام والقاطع وظل التمام ترتبط ارتباطا وثيقا بالدوال الأم ويتم رسمها بالاستعانة بمقلوباتها.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد السعة وطول الدورة للدالة $y = 4 \cos 3\theta$. الخطوة الأولى: تحديد السعة. السعة هي القيمة المطلقة لمعامل جيب التمام، إذن السعة تساوي $|4| = 4$. الخطوة الثانية: تحديد طول الدورة. بما أن معامل الزاوية هو $3$، إذن طول الدورة يساوي $\frac{360^\circ}{|3|} = 120^\circ$. الخطوة الثالثة: الرسم. ارسم منحنى جيب التمام بحيث يصل إلى أقصى ارتفاع عند $4$ وأدنى انخفاض عند $-4$، ويكمل دورة كاملة واحدة خلال مسافة أفقية قدرها $120^\circ$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع اعتبار أن السعة يمكن أن تكون سالبة؛ السعة دائما موجبة لأنها تمثل مسافة وتُحسب بالقيمة المطلقة. كما يخطئ البعض في قسمة $360^\circ$ على معامل الزاوية في دالة الظل مستخدمين قاعدة الجيب، والصحيح أن دورة الظل تقسم على $180^\circ$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد السعة وطول الدورة للدالة $y = 3 \sin 5\theta$. الإجابة: السعة تساوي $3$، وطول الدورة يساوي $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$. السؤال الثاني: أوجد طول الدورة للدالة $y = \tan \frac{1}{2}\theta$. الإجابة: طول الدورة يساوي $\frac{180^\circ}{|\frac{1}{2}|} = 360^\circ$.