8-8 الدوال المثلثية العكسية (٢)

تقوم فكرة الدوال المثلثية العكسية على عكس العمليات المعتادة؛ فبدل إدخال زاوية للحصول على قيمة دالة مثلثية، ندخل القيمة لنحصل على الزاوية. إذا كانت قيمة الجيب لزاوية ما تساوي نصفا، فالدالة العكسية تجيبنا عن الزاوية التي حققت ذلك. نستخدم رموز مثل $\operatorname{Sin}^{-1}$ أو $\operatorname{Cos}^{-1}$ للوصول إلى القياس بالدرجات أو الراديان، مستعينين بدائرة الوحدة أو الآلة الحاسبة المبرمجة لحساب الزوايا بدقة عندما نعرف أطوال الأضلاع أو النسب المثلثية.

الفكرة الأساسية

لو طلبنا منك في الدوال العادية إعطائنا قيمة الجيب لزاوية معينة، فستقول لنا النتيجة مباشرة. أما في الدوال المثلثية العكسية، فالعكس هو ما يحدث: نعطيك النتيجة، وعليك أن تبحث عن الزاوية التي أعطتك هذه النتيجة. إذا كانت النتيجة هي جيب لزاوية ما وتساوي نصفا، فالدالة العكسية تسألك عن قياس تلك الزاوية.

الشرح

نستخدم رموزا مثل $\operatorname{Sin}^{-1}$ و $\operatorname{Cos}^{-1}$ و $\operatorname{Tan}^{-1}$ للوصول إلى قياس الزاوية بالدرجات أو الراديان. عندما يطلب منك إيجاد قيمة $\operatorname{Cos}^{-1} \frac{1}{2}$، فأنتم تبحثون عن الزاوية التي يقع ضلع الانتهاء لها على دائرة الوحدة بحيث يكون الإحداثي السيني لها مساويا لـ $\frac{1}{2}$ ضمن الفترة المحددة، فتجدون أن الزاوية هي $60^\circ$ أو $\frac{\pi}{3}$ راديان. وفي حالات أخرى لا تكون الزاوية مشهورة، فنلجأ إلى الآلة الحاسبة العلمية مستخدمين مفاتيحShift مع مفتاح الدالة المثلثية الأصلية للحصول على الزاوية مقربة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة $\operatorname{Cos}^{-1} \frac{1}{2}$ بالدرجات وبالراديان. الخطوة الأولى: نفهم المطلوب؛ نحن نبحث عن الزاوية $\theta$ بحيث يكون جيب تمامها يساوي $\frac{1}{2}$ ضمن الفترة من $0^\circ$ إلى $180^\circ$. الخطوة الثانية: نستعمل دائرة الوحدة لنبحث عن النقطة على دائرة الوحدة التي يكون الإحداثي السيني فيها يساوي $\frac{1}{2}$. الخطوة الثالثة: نجد أن $\operatorname{Cos} \theta = \frac{1}{2}$ عندما تكون الزاوية $\theta = 60^\circ$ أو $\frac{\pi}{3}$. إذن $\operatorname{Cos}^{-1} \frac{1}{2} = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.

أخطاء شائعة

الخلط بين الفترة المسموح بها للدوال العكسية، مثل نسيان أن زاوية الجيب العكسي تحدد في فترات معينة. والخطأ في وضع الآلة الحاسبة على نظام الراديان بدلا من الدرجات أو العكس عند حساب النواتج.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة $\operatorname{Sin}^{-1} (1)$ بالدرجات. الإجابة: $90^\circ$. السؤال الثاني: أوجد قيمة $\operatorname{Tan}^{-1} (0)$ بالدرجات. الإجابة: $0^\circ$.