8-6 الدوال الدائرية

يقوم درس الدوال الدائرية على ربط الزوايا بدائرة الوحدة المرسومة في المستوى الإحداثي، بحيث يكون طول نصف قطرها وحدة واحدة. الفكرة الأساسية تعتمد على أن إحداثي أي نقطة تقاطع ضلع الانتهاء للزوية مع دائرة الوحدة يمثل الجيب وجيب التمام، حيث القيمة الأولى في الزوج المرتب هي الإحداثي السيني وتمثل جيب التمام، والقيمة الثانية هي الإحداثي الصادي وتمثل الجيب. كما يتعلم الطالب الدوال الدورية التي تكرر قيمها على فترات منتظمة تسمى الدورة. مثال سريع: إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية يقطع دائرة الوحدة في النقطة التي إحداثياتها الإحداثي السيني يساوي النصف والإحداثي الصادي يساوي جذر ثلاثة على اثنين، فإن جيب التمام لهذه الزاوية يساوي النصف، وجيبها يساوي جذر ثلاثة على اثنين.

الفكرة الأساسية

تخيل دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها يساوي وحدة واحدة تماما، وهي ما نسميه دائرة الوحدة. لو رسمنا زوايا داخل هذه الدائرة، فإن ضلع الانتهاء لأي زاوية سيقطع محيط دائرة الوحدة في نقطة معينة. هذه النقطة لها إحداثي سيني وإحداثي صادي، ومن هنا تنشأ الدوال الدائرية لتربط الزوايا بقيم جيب التمام والجيب.

الشرح

انظر إلى دائرة الوحدة: مركزها هو نقطة الأصل $(0, 0)$ وطول نصف قطرها هو $1$. إذا قطع ضلع الانتهاء للزاوية $heta$ المرسومة في الوضع القياسي دائرة الوحدة في نقطة ما وليكن اسمها $P$ وإحداثياتها هي $(x, y)$، فإن القيمة الأولى وهي الإحداثي السيني $x$ تمثل جيب التمام للزاوية $heta$ ونكتبها $\cos \theta = x$. أما القيمة الثانية وهي الإحداثي الصادي $y$ فتمثل الجيب للزاوية $\theta$ ونكتبها $\sin \theta = y$. إذن النقطة الواقعة على دائرة الوحدة تكتب دائما على الصورة $P(x, y) = P(\cos \theta, \sin \theta)$. أما الدوال الدورية فهي الدوال التي تكرر شكل البيان وقيمها عبر نمط يتكرر على فترات منتظمة، والمسافة الأفقية لهذه الدورة تسمى طول الدورة، وكل من دالتي الجيب وجيب التمام تتكرران كل $360^\circ$ أو $2\pi$.

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب هو إيجاد قيمة جيب التمام والجيب للزاوية التي ضلع انتهائها يقطع دائرة الوحدة في النقطة $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. الخطوة الأولى: نكتب القاعدة العامة التي تربط نقطة التقاطع بالدوال الدائرية وهي $P(x, y) = P(\cos \theta, \sin \theta)$. الخطوة الثانية: نقارن المسقط الأول في النقطة المعطاة بالقاعدة، فنرى أن الإحداثي السيني $x$ يساوي $\frac{1}{2}$، وهو ما يمثل قيمة جيب التمام إذن $\cos \theta = \frac{1}{2}$. الخطوة الثالثة: نقارن المسقط الثاني في النقطة المعطاة بالقاعدة، فنرى أن الإحداثي الصادي $y$ يساوي $\frac{\sqrt{3}}{2}$، وهو ما يمثل قيمة الجيب إذن $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع الخلط بين الإحداثي السيني والصادي عند استخراج الجيب وجيب التمام، فتذكر دائما أن الإحداثي السيني يخص جيب التمام $\cos$ والإحداثي الصادي يخص الجيب $\sin$ وليس العكس. ومن الأخطاء أيضا نسيان أن طول دورة دالتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين هو $360^\circ$ أو $2\pi$ وليس قيمة أخرى.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ يقطع دائرة الوحدة في النقطة $P(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$، فأوجد كلا من $\cos \theta$ و$\sin \theta$. الإجابة: $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ و$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

السؤال الثاني: أوجد القيمة الدقيقة للمقدار $\cos 480^\circ$. الإجابة: بما أن طول الدورة هو $360^\circ$، نطرح دورة كاملة من الزاوية ليصبح لدينا $\cos(120^\circ + 360^\circ) = \cos 120^\circ$، وتساوي النصف السالب أي $-\frac{1}{2}$.