8-5 قانون جيوب التمام

يقوم قانون جيوب التمام على إيجاد أطوال الأضلاع أو قياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة الزاوية، وذلك عندما لا يمكن استخدام قانون الجيوب. تستخدم هذا القانون في حالتين أساسيتين: إذا عُرف ضلعيان وقياس الزاوية المحصورة بينهما، أو إذا عُرفت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث. يعتمد القانون على ربط مربعات أضلاع المثلث ببعضها وبجيب تمام إحدى زواياه، مثل الصيغة $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. فمثلاً لو كان لديك مثلث بضلعين طولهما 4 و 3 والزاوية المحصورة بينهما 60 درجة، تستخدم القانون لإيجاد الضلع الثالث مباشرة عبر تعويض القيم في العلاقة ليصبح الناتج مساوياً لـ 3.6 تقريباً.

الفكرة الأساسية

عندما تتعامل مع مثلث غير قائم الزاوية وتجد أن قانون الجيوب لا يسعفك لأنك لا تملك زاوية وضلعاً مقابلاً لها، يأتي دور قانون جيوب التمام. تستعمل هذا القانون في حالتين لا ثالث لهما: الأولى عندما يُعطى في المثلث طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما، والثانية عندما تُعطى أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث كاملة.

الشرح

تأمل رموز المثلث ABC الذي أطوال أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ وتقابل الزوايا $A$ و $B$ و $C$ على الترتيب. يربط قانون جيوب التمام بين هذه الأضلاع والزوايا بالعلاقات الثلاث الآتية: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ لكل ضلع في الجهة اليمنى مربع يجمع مربعي الضلعين الآخرين، مطروحاً منه ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية المقابلة للضلع الذي في الجهة اليسرى.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المثلث الذي فيه $a = 7$ و $c = 5$ وقياس الزاوية $B = 36^\circ$. الخطوة 1: استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد طول الضلع الثالث $b$. اكتب القانون: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ عوض بالأرقام: $b^2 = 7^2 + 5^2 - 2(7)(5) \cos 36^\circ$ استعمل الآلة الحاسبة للتبسيط: $b^2 \approx 17.4$ خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: $b \approx 4.2$ الخطوة 2: استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد قياس الزاوية $A$. اكتب القانون: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ عوض بالأرقام: $7^2 = (4.2)^2 + 5^2 - 2(4.2)(5) \cos A$ اطرح $(4.2)^2$ و $5^2$ من كلا الطرفين ثم اقسم على معامل $\cos A$ لتجد: $\cos A = \frac{7^2 - (4.2)^2 - 5^2}{-2(4.2)(5)}$ استعمل الآلة الحاسبة: $-0.1514 \approx \cos A$ أوجد قيمة المعكوس: $\cos^{-1} 0.1514 \approx A$ ينتج أن $A \approx 99^\circ$. الخطوة 3: أوجد قياس الزاوية الثالثة $C$ بطرح مجموع الزاويتين الأخيرتين من 180 درجة: $m\angle C \approx 180^\circ - (36^\circ + 99^\circ) \approx 45^\circ$

أخطاء شائعة

نسيان طرح الحد الأخير $2bc \cos A$ والكتفاء بمربع الضلعين كما في نظرية فيثاغورس رغم أن المثلث غير قائم الزاوية. الخطأ في ترتيب الأضلاع والزوايا المتقابلة داخل القانون، كأن تستعمل زاوية لا تقابل الضلع الموجود في الطرف الأيسر للمعادلة. إهمال ترتيب العمليات الحسابية عند نقل الأرقام وحساب الجذور والنسب المثلثية في الآلة الحاسبة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المثلث الذي فيه $f = 4$ و $h = 6$ و $G = 82^\circ$ مقرباً أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. الإجابة: $g \approx 6.8$، وقياس الزاوية $F \approx 36^\circ$، وقياس الزاوية التنفيذية $H \approx 62^\circ$. السؤال الثاني: حل المثلث الذي فيه $a = 8$ و $b = 11$ و $c = 5$ مقرباً قياسات الزوايا إلى أقرب درجة. الإجابة: قياس الزاوية $A \approx 46^\circ$، وقياس الزاوية $B \approx 113^\circ$، وقياس الزاوية $C \approx 21^\circ$.