توسع 4-8 معمل الهندسة : مساحة متوازي الأضلاع

الدرس ٢٤ من ٢٩الرياضيات ٢صفحات ١٨٧–١٨٨

صفحة ١٨٧

صفحة ١ من ٢

صفحة ١٨٧

انظر إلى أعلى الصفحة، الهدف هنا هو إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستعمال نسبة الجيب. انظر إلى متوازي الأضلاع ABCD في النشاط، فيه ضلعان طولهما ١٦ in و٢٨ in، والزاوية بينهما تساوي $60^{\circ}$ . لحل هذا النشاط، نبدأ في الخطوة ١ برسم القطر BD، وهو يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين هما المثلث ABD والمثلث CDB. في الخطوة ٢، نوجد مساحة المثلث ABD بتطبيق صيغة مساحة المثلث $K = \frac{1}{2}(AB)(AD)\sin A$ . نعوض عن الأطوال والزاوية لنحصل على المساحة بالصيغة $112\sqrt{3}$ . وفي الخطوة ٣، بما أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مجموع مساحتي المثلثين وهما متطابقان، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوى مثلي مساحة المثلث ABD، أي $224\sqrt{3}$ وتساوي تقريباً $387.98 \text{ in}^2$ . انتقل الآن إلى فقرة تمارين في الأسفل، لديك ثلاثة متوازيات أضلاع بأبعاد مختلفة وزوايا معطاة، والمطلوب في الفرع a إيجاد المساحة لكل منها على حدة مستخدماً نفس الطريقة التي طبقناها في الخطوة السابقة. أما في الفرع b، فالمطلوب إعادة حساب المساحة عندما يصبح قياس الزاوية المعلومة نصف القياس المعطى في الشكل. وفي الفرع c، أعد حساب المساحة بناءً على أن قياس الزاوية المعلومة أصبح مثلي القياس المعطى.

صفحة ١٨٨

انظر إلى أعلى الصفحة، هذا هو اختبار منتصف الفصل للدروس من 8-1 إلى 8-4. في السؤالين ١ و٢، مطلوب حل المثلث XYZ بناءً على القياسات المعطاة لكل سؤال، وقريب أطوال الأجزاء إلى أقرب جزء من عشرة. انظر إلى السؤالين ١٢ و١٣، إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يمر بإحدى النقطتين المعطيتين في كل مرة، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية $\theta$ . في السؤال رقم ١٤ عن الحديقة، انظر إلى الشكل المثلث الذي يمثل الحديقة والذي فيه ضلعان طولهما 8 m و10 m والزاوية بينهما $60^{\circ}$ وزاوية أخرى $44^{\circ}$ ، والمطلوب حساب مساحة الحديقة. في الأسئلة من 15 إلى 17، حدد إن كان للمثلث ABC في كل مما يأتي حل واحد أم حلان أم ليس له حل، ثم أوجد الحلول مقرباً أطوال الأجزاء إلى أقرب جزء من عشرة وقيسات الزوايا إلى أقرب درجة. في الأسئلة من 5 إلى 8، حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات. في الأسئلة من 18 إلى 20، أوجد زاويتين إحداهما بقياس موجب والأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة. في السؤال رقم ٩ الاختيار من متعدد، انظر إلى الدائرة التي فيها نصف قطر 15 cm وزاوية مركزية قياسها $\frac{8\pi}{7}$ راديان، ومطلوب إيجاد طول القوس المقابل للزاوية مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة. في السؤال رقم ١٠ و١١، أوجد القيمة الدقيقة لكل من الدالتين المثلثيتين $\tan \pi$ و $\cos \frac{3\pi}{4}$ . في السؤال رقم ٢١ الاختيار من متعدد، افترض أن $\theta$ زاوية مرسومة في الوضع القياسي بحيث $\cos \theta > 0$ ، وحدد في أي ربع يقع ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ .

يقوم هذا الدرس على إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستعمال نسبة الجيب وحساب المثلثات. تعتمد الفكرة الأساسية على رسم قطر في متوازي الأضلاع لتقسيمه إلى مثلثين متطابقين، ثم حساب مساحة أحد هذين المثلثين باستخدام الصيغة $K = rac{1}{2} (AB)(AD) \sin A$ ، ثم ضرب الناتج في اثنين لأن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مجموع مساحتي المثلثين. على سبيل المثال، إذا كان متوازي الأضلاع له ضلعان طولهما $16\text{ in}$ و $28\text{ in}$ والزاوية المحصورة بينهما قياسها $60^{\circ}$ ، فنحسب مساحة المثلث الأول لتساوي $112\sqrt{3}$ ، ثم نضربها في $2$ لنحصل على مساحة متوازي الأضلاع الكلية التي تساوي $224\sqrt{3} \approx 387.98\text{ in}^2$ . يتيح لنا هذا الأسلوب التعامل مع الأشكال الهندسية غير التقليدية وإيجاد مساحاتها بدقة عند معرفة طولي ضلعين متجاورين والزاوية المحصورة بينهما.

الفكرة الأساسية

يمكنك إيجاد مساحة أي متوازي أضلاع باستعمال نسبة الجيب وحساب مثلثاتي، وذلك بتقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين برسم قطر واحد، ثم حساب مساحة أحد المثلثين وضربها في اثنين.

الشرح

عندما ترسم قطراً في أي متوازي أضلاع، فإنه ينقسم تماماً إلى مثلثين متطابقين. لنأخذ متوازي الأضلاع $ABCD$ ونرسم القطر $BD$ . هذا القطر يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين هما المثلث $ABD$ والمثلث $CDB$ . لحساب مساحة المثلث $ABD$ ، نستعمل صيغة مساحة المثلث المعروفة بالحساب المثلثي: $K = rac{1}{2} (AB)(AD) \sin A$ حيث $AB$ و $AD$ هما طولا ضلعين متجاورين، و $A$ هي الزاوية المحصورة بينهما. وبما أن مساحة متوازي الأضلاع $ABCD$ تساوي مجموع مساحتي هذين المثلثين المتطابقين، فإننا نضرب مساحة المثلث الواحد في $2$ لنحصل على المساحة الكلية لمتوازي الأضلاع.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مساحة متوازي الأضلاع $ABCD$ الذي فيه ضلع $AB = 16\text{ in}$ وضلع $AD = 28\text{ in}$ والزاوية بينهما $A = 60^{\circ}$ . الخطوة الأولى: ارسم القطر $BD$ لتقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين هما المثلث $ABD$ والمثلث $CDB$ . الخطوة الثانية: أوجد مساحة المثلث $ABD$ باستعمال صيغة مساحة المثلث $K = rac{1}{2} (AB)(AD) \sin A$ . عوض بالقيم المعطاة لتصبح المساحة $K = rac{1}{2} (16)(28) \sin 60^{\circ}$ . اضرب الأعداد وعوض قيمة $\sin 60^{\circ}$ لتصبح العبارة $224 (\frac{\sqrt{3}}{2})$ . بسط الناتج ليصبح $112\sqrt{3}$ . الخطوة الثالثة: أوجد مساحة متوازي الأضلاع $ABCD$ التي تساوي مثلي مساحة المثلث $ABD$ . اضرب $2 \cdot 112\sqrt{3}$ ليصبح الناتج $224\sqrt{3}$ والذي يساوي تقريباً $387.98\text{ in}^2$ .

أخطاء شائعة

نسيان ضرب مساحة المثلث في اثنين للحصول على مساحة متوازي الأضلاع الكلية. استعمال زاوية غير محصورة بين الضلعين المعطى طولهما في صيغة الجيب. الخطأ في تبسيط الجذور أو تقريب الناتج العشري بشكل غير دقيق.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مساحة متوازي أضلاع فيه ضلعان طولهما $15\text{ m}$ و $10\text{ m}$ والزاوية المحصورة بينهما $45^{\circ}$ . الإجابة: المساحة تساوي $75\sqrt{2}\text{ m}^2$ أو تقريباً $106.07\text{ m}^2$ . السؤال الثاني: أوجد مساحة متوازي أضلاع فيه ضلعان طولهما $9\text{ in}$ و $5\text{ in}$ والزاوية المحصورة بينهما $30^{\circ}$ . الإجابة: المساحة تساوي $22.5\text{ in}^2$ .