8-4 قانون الجيوب

يقوم قانون الجيوب على ربط أطوال أضلاع أي مثلث بجيوب زواياها المقابلة لها عبر العلاقة $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$. يتيح لنا هذا القانون حل المثلثات غير القائمة، أي إيجاد الأضلاع أو الزوايا المجهولة بمعرفة زاويتين وضلع، أو ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما. نبدأ أولاً بحساب مساحة المثلث بالصيغة $k = \frac{1}{2} ab \sin C$ ثم ننتقل لتطبيق القانون الأساسي. فمثلاً، إذا كان لدينا مثلث قياس إحدى زواياه $45^\circ$ وضلعها المقابل $3$، وزاوية أخرى $80^\circ$، يمكننا إيجاد الضلع المقابل للزاوية الثانية بتطبيق التناسب المباشر وحل المعادلة الناتجة.

الفكرة الأساسية

ننتقل اليوم إلى مثلثات ليس بالضرورة أن تحتوي على زاوية قائمة كما اعتمدنا سابقاً. الفكرة هنا تقوم على إيجاد علاقة ثابتة بين أي ضلع في المثلث وجيب الزاوية المقابلة له. انظر إلى أي مثلث أضلاعه $a, b, c$ وزواياه $A, B, C$؛ النسبة بين طول الضلع إلى جيب زواياه تظل متساوية لجميع أضلاع المثلث الثلاثة.

الشرح

نبدأ أولاً بحساب مساحة المثلث $k$ بمعرفة طولي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما. الصيغة هي $k = \frac{1}{2} bc \sin A$ أو $k = \frac{1}{2} ac \sin B$ أو $k = \frac{1}{2} ab \sin C$. انظر إلى الرمز $h$ في الارتفاع المرسوم داخل المثلث، فهو يساوي $c \sin A$. بالتعويض به في قانون مساحة المثلث الشهير النصف في القاعدة في الارتفاع، نحصل على تلك الصيغ.

من مساواة صيغ المساحة الثلاث بعضها ببعض وقسمة الناتج على $abc$، نصل إلى قانون الجيوب الأساسي:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$| ويمكن كتابته بالشكل المقلوب لتسهيل إيجاد الأضلاع المجهولة: \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$|

يُستخدم هذا القانون لحل المثلث، وتعني كلمة حل المثلث إيجاد جميع أطوال أضلاعه وزواياه المجهولة. الحالات التي نستخدم فيها قانون الجيوب هي:

• معرفة قياسي زويتين وطول أي ضلع فيه، وهي حالة زاوية - زاوية - ضلع أو زاوية - ضلع - زاوية.
• معرفة طولي ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المقابلة لأحدهما، وهي حالة ضلع - ضلع - زاوية، وتسمى أحياناً الحالة المبهمة لأنها قد تنتج حلّاً واحداً أو حلّين أو لا تنتج أي حل بناءً على مقارنة طول الضلع المقابل بالارتفاع $h = b \sin A$.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المثلث $\Delta ABC$ الذي فيه $m\angle A = 35^\circ$، و $b = 20$، و $a = 17$.

الخطوة 1: نوجد قيمة الارتفاع $h$ لنعرف عدد الحلول. $h = b \sin A$ $h = 20 \sin 35^\circ \approx 11.5$ بما أن $a = 17$ و $h = 11.5$، إذن $a > h$ وبما أن $a < b$، فإن للمثلث حلّين.

الحالة 1: الزاوية $B$ حادة. نكتب قانون الجيوب: \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$| نعوض بالأرقام: \frac{\sin B}{20} = \frac{\sin 35^\circ}{17}$| نحل بالنسبة لـ $\sin B$ باستخدام الضرب التبادلي: \sin B = \frac{20 \sin 35^\circ}{17} \approx 0.6748$ نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية العكسية: $B = \sin^{-1} 0.6748 \approx 42^\circ$ الخطوة 2: نوجد قياس الزاوية الثالثة $C$: $m\angle C \approx 180^\circ - (35^\circ + 42^\circ) \approx 103^\circ$ الخطوة 3: نوجد قيمة الضلع $c$ باستخدام قانون الجيوب: \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$| $$\frac{c}{\sin 103^\circ} = \frac{17}{\sin 35^\circ}$| $c = \frac{17 \sin 103^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 28.9$

الحالة 2: الزاوية $B$ منفرجة (مكملة للزاوية الحادة): $m\angle B \approx 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$ $m\angle C \approx 180^\circ - (35^\circ + 138^\circ) = 7^\circ$ $c = \frac{17 \sin 7^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 3.6$

أخطاء شائعة

• نسيان وضع الآلة الحاسبة على نظام الدرجات قبل حساب قيم الجيوب، مما يعطي نواتج خاطئة تماماً.
• الخلط بين حالة وجود حلّين وعدم وجود حل في الحالة المبهمة وعدم مقارنة طول الضلع بالارتفاع $h$ أولاً.
• كتابة مقلوب القانون بشكل خاطئ، مثل جعل الجيب في المقام والأضلاع في البسط عند البحث عن الزوايا.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مساحة المثلث $\Delta ABC$ الذي فيه $a = 8$، و $b = 9$، و $C = 104^\circ$. الإجابة: المساحة تساوي تقريباً $34.9$ سنتيمتراً مربعاً.

السؤال الثاني: حل المثلث $\Delta JKH$ الذي فيه $H = 53^\circ$، و $J = 20^\circ$، و $h = 31$. الإجابة: $j \approx 13.1$، و $K = 107^\circ$، و $k \approx 36.3$.