8-3 الدوال المثلثية للزوايا

يقوم هذا الدرس على إيجاد قيم الدوال المثلثية لأي زاوية في الوضع القياسي، بغض النظر عن قياسها سواء كان أكبر من تسعين درجة أو سالباً. تعتمد الفكرة على معرفة نقطة على ضلع الانتهاء، ثم إيجاد نصف القطر r باستخدام نظرية فيثاغورس $r = \sqrt{x^2 + y^2}$، وتطبيق نسب الدوال الست وهي: جيب الزاوية $\sin \theta = \frac{y}{r}$، جيب التمام $\cos \theta = \frac{x}{r}$، الظل $\tan \theta = \frac{y}{x}$، مقلوباتها قاطع التمام $\csc \theta = \frac{r}{y}$، القاطع $\sec \theta = \frac{r}{x}$، وظل التمام $\cot \theta = \frac{x}{y}$. إذا مر ضلع الانتهاء بالنقطة $(-4, -3)$، فإن $r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$، وتكون $\sin \theta = \frac{-4}{5}$ و$\cos \theta = \frac{-3}{5}$ و$\tan \theta = \frac{4}{3}$.

الفكرة الأساسية

توسيع مفهوم الدوال المثلثية لتشمل أي زاوية في الوضع القياسي، سواء كانت أكبر من تسعين درجة أو سالبة، عبر استخدام إحداثيات نقطة على ضلع الانتهاء ونظرية فيثاغورس وزاوية مرجعية لتحديد الإشارة.

الشرح

لتكن $\theta$ زاوية مرسومة في الوضع القياسي ولتكن النقطة $P(x, y)$ تقع على ضلع الانتهاء لها. باستخدام نظرية فيثاغورس يمكن إيجاد قيمة $r$ التي تمثل البعد بين نقطة الأصل والنقطة $P$ حيث $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. فتكون الدوال المثلثية الست للزاوية $\theta$ معرفة كما يأتي:

• $\sin \theta = \frac{y}{r}$
• $\cos \theta = \frac{x}{r}$
• $\tan \theta = \frac{y}{x}$ حيث $x \neq 0$
• $\csc \theta = \frac{r}{y}$ حيث $y \neq 0$
• $\sec \theta = \frac{r}{x}$ حيث $x \neq 0$
• $\cot \theta = \frac{x}{y}$ حيث $y \neq 0$

إذا كانت الزاوية $\theta$ غير ربعية، فإن زاويتها المرجعية $\theta'$ هي الزاوية الحادة المحصورة بين ضلع الانتهاء والزاوية $\theta$ والمحور $x$. وتعتمد إشارة كل دالة على الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة $(-4, -3)$، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية $\theta$. الخطوة 1: ارسم الزاوية وأوجد قيمة $r$. $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$ الخطوة 2: استعمل $x = -3$ و$y = -4$ و$r = 5$ لكتابة الدوال المثلثية.

• $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5}$
• $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-3}{5}$
• $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$
• $\csc \theta = \frac{r}{y} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}$
• $\sec \theta = \frac{r}{x} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$
• $\cot \theta = \frac{x}{y} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

أخطاء شائعة

• نسيان تحديد الإشارة الصحيحة للدالة بناءً على الربع الذي تقع فيه الزاوية.
• الخلط بين إحداثي $x$ وإحداثي $y$ عند حساب نسب الجيب وجيب التمام.
• اعتبار $r$ سالباً في بعض الحالات، رغم أن $r$ يمثل مسافة وهو دائماً موجب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة $(2, -6)$، فأوجد قيمة $\sin \theta$. الإجابة: أولاً نجد $r = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. إذن $\sin \theta = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}}$ أو بنطق المقام $\frac{-3\sqrt{10}}{10}$.

السؤال الثاني: أوجد القيمة الدقيقة للدالة $\cos 240^\circ$. الإجابة: يقع ضلع الانتهاء للزاوية $240^\circ$ في الربع الثالث، وزاويتها المرجعية هي $\theta' = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$. وبما أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثالث، إذن $\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.