8-2 الزوايا وقياساتها

يقوم هذا الدرس على فهم كيفية تمثيل الزوايا في المستوى الإحداثي بما يسمى الوضع القياسي، بحيث يكون ضلع الابتدَاء منطبقاً على الجزء الموجب من المحور x، بينما يدور ضلع الانتهاء عكس عقارب الساعة للقياسات الموجبة ومع عقارب الساعة للقياسات السالبة. كما يتعلم الطالب التحويل بين وحدات قياس الزوايا بالدرجات وبالراديان باستخدام العلاقة الأساسية 180 درجة تساوي $\pi$ راديان. إضافة إلى ذلك، يربط الدرس بين قياس الزاوية المركزية وطول القوس المقابل لها في الدائرة من خلال الصيغة الرياضية $s = r\theta$. فعلى سبيل المثال، إذا كان نصف قطر دائرة يساوي 3 وقياس زاوية مركزية يساوي $\pi$ بالراديان، فإن طول القوس المقابل لها يساوي حاصل ضرب نصف القطر في قياس الزاوية، أي $s = 3\pi$.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول طريقة قياس الزوايا وتمثيلها بطريقتين أساسيتين: إما بالدرجات أو بالراديان، وكيفية إيجاد زوايا مشتركة في ضلع الانتهاء، وحساب طول القوس المقابل للزاوية المركزية في الدائرة.

الشرح

نبدأ أولاً بمفهوم الوضع القياسي للزاوية في المستوى الإحداثي؛ حيث يكون رأس الزاوية عند نقطة الأصل، وضلعها الابتدائي منطبقاً على الجزء الموجب من المحور x. إذا دار ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة، يكون قياس الزاوية موجباً، وإذا دار مع اتجاه عقارب الساعة، يكون قياس الزاوية سالباً. إذا زاد دوران ضلع الانتهاء عن دورة كاملة (360 درجة أو $2\pi$ راديان)، فإننا نجمع أو نطرح مضاعفات الدورة الكاملة لإيجاد زوايا مشتركة في ضلع الانتهاء.

للتحويل بين وحدات القياس، نستخدم العلاقة بين الدرجات والراديان؛ فكل 180 درجة تعادل $\pi$ راديان. للتحويل من الدرجات إلى الراديان نضرب قياس الزاوية في الكسر $\frac{\pi \text{ rad}}{180^{\circ}}$, وللتحويل من الراديان إلى الدرجات نضرب في الكسر $\frac{180^{\circ}}{\pi \text{ rad}}$.

أما في الدائرة، فإن قياس الزاوية المركزية $\theta$ بالراديان يتيح لنا حساب طول القوس $s$ المقابل لها باستخدام الصيغة: $s = r\theta$, حيث $r$ هو طول نصف قطر الدائرة.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنرسم زاوية قياسها $215^{\circ}$ في الوضع القياسي: الخطوة 1: نلاحظ أن القياس أكبر من 180 درجة، فنحلل القياس إلى $215^{\circ} = 180^{\circ} + 35^{\circ}$. الخطوة 2: نرسم ضلع الابتدَاء منطبقاً على الجزء الموجب من المحور x. الخطوة 3: بما أن القياس موجب، فإن ضلع الانتهاء يدور عكس عقارب الساعة. يدور ضلع الانتهاء دورة نصفية ($180^{\circ}$) ليصل إلى الجزء السالب من المحور x، ثم يدور زيادة بمقدار $35^{\circ}$ إضافية، فنرسم ضلع الانتهاء في الربع الثالث.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول: الاعتقاد بأن الزوايا السالبة تعني قياساً غير متاح، بينما هي تدل فقط على اتجاه دوران مع عقارب الساعة. الخطأ الثاني: نسيان كتابة وحدة الراديان أو الخلط بين الضرب في $\frac{\pi}{180}$ أو $\frac{180}{\pi}$ عند التحويل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حول قياس الزاوية $120^{\circ}$ إلى الراديان. الإجابة: نضرب في $\frac{\pi}{180}$, فيكون الناتج: $120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}$.

السؤال الثاني: أوجد زاويتين، إحداهما بقياس موجب والأخرى بقياس سالب، مشتركتين في ضلع الانتهاء مع الزاوية $50^{\circ}$. الإجابة: لإيجاد قياس موجب نضيف 360 درجة فيصبح $50^{\circ} + 360^{\circ} = 410^{\circ}$. ولإيجاد قياس سالب نطرح 360 درجة فيصبح $50^{\circ} - 360^{\circ} = -310^{\circ}$.