8-1 الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية

يقوم هذا الدرس على دراسة العلاقة بين زوايا المثلث القائم الزاوية وأطوال أضلاعه عبر ست نسب مثلثية أساسية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام، القاطع، وظل التمام. انظر إلى المثلث القائم: إذا كانت لديك زاوية حادة $\theta$، فإن جيبها $\sin \theta$ يساوي طول الضلع المقابل مقسوماً على الوتر. تستعمل هذه الدوال في إيجاد الأطوال والمجهولات في المثلثات وقيس الزوايا، وتفيدنا في الحياة العملية في حساب زوايا الارتفاع والانخفاض مثل تحديد ارتفاع بناية أو مسافة غير مكسورة. مثال سريع: إذا كان الضلع المقابل للزوية يساوي $3$ والوتر يساوي $5$، فإن $\sin \theta = \frac{3}{5}$. نستعمل أيضاً معكوس النسب المثلثية مثل $\sin^{-1} x$ لإيجاد قياس الزاوية متى ما عرفت قيمتها النسبية.

الفكرة الأساسية

ندرس هنا العلاقة بين زوايا المثلث القائم الزاوية وأطوال أضلاعه باستخدام الدوال المثلثية الست للزوايا الحادة.

الشرح

انظر إلى المثلث القائم الزاوية: لدينا زاوية حادة نرمز لها بالرمز الإغريقي $\theta$. يسمى الضلع المقابل لها بالضلع المقابل، والضلع المجاور لها بالضلع المجاور، والضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة بالوتر. الدوال المثلثية الست هي:

• جيب الزاوية: $\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$
• جيب تمام الزاوية: $\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$
• ظل الزاوية: $\tan \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$
• قاطع تمام الزاوية: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{الوتر}}{\text{المقابل}}$
• قاطع الزاوية: $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{الوتر}}{\text{المجاور}}$
• ظل تمام الزاوية: $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}}$

ولإيجاد قياس الزاوية إذا علمنا نسبتها، نستعمل معكوس النسب المثلثية مثل $\sin^{-1} x$ و$\cos^{-1} x$ و$\tan^{-1} x$.

مثال محلول خطوة بخطوة

في مثلث قائم الزاوية في C، إذا علمت أن طول الضلع المقابل للزاوية $\theta$ يساوي $8$، وطول الضلع المجاور يساوي $15$، وطول الوتر يساوي $17$؛ فأوجد قيمة $\sin \theta$. الخطوة ١: حدد القانون المناسب لدالة الجيب، وهو $\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$. الخطوة ٢: عوض بالقيم المعطاة في السؤال عن المقابل والوتر، ليصبح لديك $\sin \theta = \frac{8}{17}$.

أخطاء شائعة

الخلط بين المقابل والمجاور للزاوية المعنية، أو كتابة معكوس النسب المثلثية كأُس سالب بطريقة خاطئة مثل اعتبار $\sin^{-1} x$ مساوياً لـ $\frac{1}{\sin x}$ وهو غير صحيح.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان طول الضلع المقابل لزوية حادة يساوي $3$ والوتر يساوي $5$، فما قيمة $\sin \theta$؟ الإجابة: $\frac{3}{5}$. السؤال الثاني: إذا كان $\tan B = 3$، فأوجد قيمة $\sin B$ إذا علمت أن طول الوتر يساوي $8$ والمقابل يساوي $5$؟ الإجابة: $\sin B = \frac{5}{8}$.