7-5 احتمالات الحوادث المتنافية

يقوم هذا الدرس على إيجاد احتمالات الحوادث التي تتضمن اتحاد حادثتين أو أكثر، وتنقسم إلى نوعين رئيسيين: الحوادث المتنافية التي لا توجد بينها نواتج مشتركة، ويُحسب احتمال اتحادها بجمع احتمال كل منهما $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$، والحوادث غير المتنافية التي توجد بينها نواتج مشتركة، ويُحسب احتمال اتحادها بجمع احتماليهما ثم طرح احتمال التقاطع بينهما $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. كما يتناول الدرس احتمال الحادثة المتممة لعدم وقوع حادثة ما، ويُحسب بالعلاقة $P(A′) = 1 - P(A)$. فمثلاً عند اختيار عدد عشوائياً من $1$ إلى $10$， احتمال الحصول على عدد زوجي أو عدد أكبر من $5$ هو حادثتان غير متنافيتين، لأن العددين $6$ و$8$ مشتركان في الحالتين.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على حساب احتمال اتحاد حادثتين أو أكثر، مع التمييز بين الحوادث التي تمنع وقوع إحداها الأخرى وتسمى متنافية، والحوادث التي يمكن أن تقع معاً وتسمى غير متنافية، بالإضافة إلى حساب احتمال عدم وقوع الحادثة ويمسى بالحادثة المتممة.

الشرح

الحادثتان المتنافيتان هما حادثتان لا يمكن وقُوْعُهُما في الوقت نفسه، أي أنه لا توجد نواتج مشتركة بينهما. لإيجاد احتمال اتحاد هاتين الحادثتين $A$ و$B$، نستخدم القانون الذي ينص على أن احتمال وقوع $A$ أو $B$ يساوي مجموع احتمال كل منهما: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. أما الحادثتان غير المتنافيتان فهما حادثتان يمكن أن تقعا في الوقت نفسه لوجود نواتج مشتركة بينهما. لإيجاد احتمال اتحاد الحادثتين $A$ و$B$ غير المتنافيتين، نجمع احتماليهما ثم نطرح احتمال التقاطع بينهما لمنع تكرار حساب النواتج المشتركة، ويُكتب القانون هكذا: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. وبالنسبة للحادثة المتممة لحادثة ما $A$، والتي يرمز إليها بالرمز $P(A′)$، فهي تتكون من جميع نواتج فضاء العينة التي ليست من نواتج الحادثة الأصلية. ويُحسب احتمال عدم وقوع الحادثة بطرح احتمال وقوعها من الواحد الصحيح: $P(A′) = 1 - P(A)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

عند رمي مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة، ما احتمال أن يكون مجموع العدديْن الظاهريْن $5$ أو أن يكون العددان متساويين؟ الخطوة الأولى: نحدد نوع الحادثتين. هل يمكن أن يكون مجموع العدديْن $5$ وفي الوقت نفسه يكون العددان متساويين؟ النواتج التي مجموعها $5$ هي $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$، بينما النواتج المتساوية هي $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$. لا توجد أي زوج مرتب مشترك بين المجموعتين؛ إذن الحادثتان متنافيتان. الخطوة الثانية: نطبق قانون جمع احتمال الحوادث المتنافية: $P(المجموع 5 \text{ أو متساويان}) = P(المجموع 5) + P(المتساويان)$. الخطوة الثالثة: نعوض بالقيم. عدد نواتج فضاء العينة لمكعبين هو $36$ ناتجاً. عدد نواتج المجموع $5$ هو $4$ نواتج، إذن الاحتمال هو $\frac{4}{36}$. وعدد النواتج المتساوية هو $6$ نواتج، إذن الاحتمال هو $\frac{6}{36}$. الخطوة الرابعة: نجمع الاحتمالين: $\frac{4}{36} + \frac{6}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$، ويساوي تقريباً $27.8\%$.

أخطاء شائعة

• جمع احتمالات حادثتين غير متنافيتين مباشرة دون طرح احتمال التقاطع، مما يؤدي إلى الحصول على قيمة احتمال أكبر من الواحد الصحيح أو قيمة خاطئة لتكرار حساب النواتج المشتركة.
• الخلط بين الحوادث المتنافية وغير المتنافية عند قراءة السؤال، وعدم التحقق من وجود نواتج مشتركة بين الحوادث قبل تطبيق القانون المناسب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: سُحبت بطاقة عشوائياً من صندوق يحتوي على $40$ بطاقة مرقمة من $1$ إلى $40$. ما احتمال أن تحمل البطاقة المسجلة عدداً زوجياً أو أقل من $5$؟ الإجابة: الحادثتان غير متنافيتين لوجود أعداد زوجية أقل من $5$ وهي $2$ و$4$. القانون المستخدم: $P(\text{زوجي أو أقل من } 5) = P(\text{زوجي}) + P(\text{أقل من } 5) - P(\text{زوجي وأقل من } 5)$. بالتعويض: $\frac{20}{40} + \frac{4}{40} - \frac{2}{40} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$ أو $55\%$. السؤال الثاني: إذا كان احتمال هطول المطر هو $70\%$. فما احتمال عدم هطوله؟ الإجابة: نستخدم قانون الحادثة المتممة: $P(\text{عدم الهطول}) = 1 - P(\text{الهطول}) = 1 - 0.70 = 0.30$ أو $30\%$.