7-4 احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة

يقوم هذا الدرس على حساب احتمالات الحوادث المركبة، وهي الحوادث التي تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر. ينقسم هذا النوع إلى حوادث مستقلة، لا يؤثر فيها وقوع الحادثة الأولى على احتمال وقوع الحادثة الثانية مثل إرجاع البطاقة المسحوبة، وحوادث غير مستقلة، تتأثر فيها الحادثة الثانية بوقوع الأولى مثل عدم إرجاع البطاقة مما يغير فضاء العينة. لحساب احتمال وقوع حادثتين معاً نضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية، مع ملاحظة أن الحوادث غير المستقلة تستخدم الاحتمال المشروط. على سبيل المثال، عند سحب بطاقتين من صندوق دون إرجاع، فإن احتمال سحب بطاقة صفراء ثم بطاقة صفراء أخرى يساوي حاصل ضرب احتمال سحب الأولى في احتمال سحب الثانية بعد نقصان إجمالي البطاقات بواحدة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول حساب احتمال وقوع حادثتين معاً أو أكثر، وتسمى هذه بالحوادث المركبة. يتطلب الأمر معرفة ما إذا كانت الحوادث مستقلة لا يؤثر بعضها في بعض، أو غير مستقلة يتغير فيها فضاء العينة بناء على ما حدث أولاً، أو مرتبطة باحتمال مشروط.

الشرح

نبدأ بتعريف الحوادث المستقلة: إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث B، فهما حادثتان مستقلتان. افتض أنك تسحب عنصراً من مجموعة وتُعيد العنصر في كل مرة، فهذه حوادث مستقلة لأن عدد العناصر يظل ثابتاً. قانون حساب احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً هو: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. أما الحوادث غير المستقلة: فهي التي يتغير فيها احتمال حدوث B إذا حدثت A بالفعل، لأنك لا تعيد العنصر المسحوب، مما يقلل فضاء العينة بمقدار واحد. قانونها هو: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. الرمز $P(B|A)$ يعني احتمال وقوع B بشرط وقوع A أولاً، ويسمى الاحتمال المشروط. قانون الاحتمال المشروط العام هو: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ بشرط ألا يساوي $P(A)$ الصفر.

مثال محلول خطوة بخطوة

افترض أنك سحبت بطاقة عشوائياً من صندوق فيه ٨ قصاصات ولم ترجعها، ثم سحب صديقك بطاقة أخرى، ما احتمال أن يسحب كل من الصديقين قصاصة صفراء علما بأن الصندوق يحوي ٥ قصاصات صفراء من أصل ٨؟ الخطوة الأولى: نحدد نوع الحادثتين، فهما حادثتان غير مستقلتين لأن الخيار الأول لم يُرجع إلى الكيس. الخطوة الثانية: نطبق قانون ضرب احتمالات الحوادث غير المستقلة $P(Y \cap Y) = P(Y) \cdot P(Y|Y)$. الخطوة الثالثة: احتمال سحب القصاصة الصفراء الأولى هو $\frac{5}{8}$. الخطوة الرابعة: بعد سحب القصاصة الصفراء، يبقى في الكيس ٧ قصاصات منها ٤ صفراء، فيكون احتمال سحب الصفراء الثانية هو $\frac{4}{7}$. الخطوة الخامسة: نضرب الاحتمالين $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.

أخطاء شائعة

نسيان خصم العنصر المسحوب من إجمالي فضاء العينة عند التعامل مع الحوادث غير المستقلة (بدون إرجاع)، مثل ترك المقام كما هو في السحب الثاني. الخلط بين رمز الاحتمال المشروط $P(B|A)$ وقسمة القيم العادية، فهو يعبر عن تقاطع الحادثتين مقسوماً على احتمال الأولى.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الاول: إذا ألقيت قطعة نقد ورُمي مكعب مرقم مرة واحدة، فما احتمال ظهور الشعار والعدد ٦؟ الإجابة: الحادثتان مستقلتان، احتمال ظهور الشعار $\frac{1}{2}$ واحتمال ظهور العدد ٦ هو $\frac{1}{6}$، إذن الاحتمال هو $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. السؤال الثاني: سحبت كرة حمراء عشوائياً من كيس يحتوي على كرتين زرقاوين و٩ كرات حمراء دون إرجاع، ما احتمال سحب كرة حمراء ثانية؟ الإجابة: الكرات الكلية أصبحت ١٠ كرات والكرات الحمراء ٨، إذن الاحتمال هو $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.