7-3 الاحتمال الهندسي

يقوم الاحتمال الهندسي على قياس هندسي مثل الطول أو المساحة أو قياس الزوايا بدلاً من عد النواتج البسيطة. لحساب هذا الاحتمال، نضع قياس الجزء المطلوب في البسط، وقياس الكل في المقام. مثلاً، إذا كان لدينا قطعة مستقيمة طولها الكلي $14$ وتحتوي على جزء طوله $7$، واختيرت نقطة عشوائياً، فإن احتمال وقوعها على ذلك الجزء يساوي طول الجزء مقسوماً على الطول الكلي، أي rac{7}{14} = rac{1}{2} أو $50\%$، وهو ما يمثل النسبة بين القياسين.

الفكرة الأساسية

الاحتمال الهندسي هو احتمال يتضمن قياساً هندسياً مثل الطول، أو المساحة، أو قياس الزوايا. عندما يكون لدينا شكل هندسي ونريد معرفة احتمال وقوع نقطة عشوائية في جزء معين منه، فإننا لا نعتمد على عد النواتج، بل نقارن قياس الجزء المطلوب لقياس الكل.

الشرح

يعتمد حساب الاحتمال الهندسي على قسمة قياس الجزء المستهدف على قياس الكل. ينقسم هذا الدرس إلى ثلاث حالات رئيسية:

1. الاحتمال والأطوال: إذا كانت لدينا قطعة مستقيمة رئيسية ولتكن $\overline{AD}$ واختيرت نقطة $E$ عشوائياً عليها، فإن احتمال وقوع النقطة على قطعة جزئية مثل $\overline{BC}$ يحسب بالقانون: $P(E \in \overline{BC}) = \frac{BC}{AD}$، حيث يمثل البسط طول القطعة الجزئية والمقام طول القطعة الكلية.
2. الاحتمال والمساحة: إذا احتوت المنطقة $A$ منطقة أخرى $B$، واختيرت نقطة $E$ عشوائياً من المنطقة $A$، فإن احتمال أن تقع النقطة $E$ في المنطقة $B$ يحسب بالقانون: $P(\text{وقوع النقطة } E \text{ في الدائرة } B) = \frac{\text{مساحة المنطقة } B}{\text{مساحة المنطقة } A}$.
3. قياسات الزوايا لإيجاد الاحتمال الهندسي: إذا تم استخدام قرص دوار، فإن نسبة مساحة قطاع في دائرة إلى مساحة الدائرة الكلية تساوي نسبة قياس زاوية القطاع المركزية ($x^\circ$) إلى $360^\circ$. وبناءً عليه، فإن احتمال وقوع النقطة داخل القطاع يساوي $\frac{x}{360}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

استعمل القرص ذا المؤشر الدوار في الشكل المجاور لإيجاد احتمال استقرار المؤشر على اللون الأصفر، علمًا بأن قياس زاوية القطاع الأصفر هو $45^\circ$.

• الخطوة الأولى: حدد القانون المناسب وهو استخدام قياسات الزوايا لإيجاد الاحتمال الهندسي.
• الخطوة الثانية: ضع قياس زاوية القطاع الأصفر في البسط ($45$) ومجموع قياسات زوايا الدائرة في المقام ($360$).
• الخطوة الثالثة: اكتب الكسر $P(\text{استقرار المؤشر على اللون الأصفر}) = \frac{45}{360}$.
• الخطوة الرابعة: بسط الناتح أو حوله إلى نسبة مئوية ليصبح الناتج التقديري $\approx 12.5\%$.

أخطاء شائعة

• جمع أو قسمة الأطوال بشكل خاطئ عند حساب الأطوال الجزئية المتاحة على خط الأعداد.
• نسيان أن مجموع الزوايا حول المركز يساوي $360^\circ$ عند حساب احتمالات الدوائر والأقراص الدوارة.
• الخلط بين مساحة الهدف المطلوب ومساحة الشكل الكلي في احتمالات المساحات.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: إذا اختيرت النقطة $X$ عشوائياً على $\overline{JM}$ في الشكل السابق، حيث $KL = 7$ و $JM = 14$، فأوجد احتمال $P(X \in \overline{KL})$.
• الإجابة: $P(X \in \overline{KL}) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%$.
• السؤال الثاني: إذا كان لدينا قرص دوار وقرصت زاوية قطاع اللون البنفسجي فيه تساوي $105^\circ$، فما احتمال استقرار المؤشر على اللون البنفسجي؟
• الإجابة: $P(\text{استقرار المؤشر على اللون البنفسجي}) = \frac{105}{360} \approx 29\%$.