7-2 الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق

يقوم الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق على حساب نسبة عدد النواتج المطلوبة (الحادثة) إلى إجمالي النواتج الممكنة في فضاء العينة، وذلك باستخدام طرق العد المتقدمة عندما يكون حجم النواتج كبيرا. يعتمد الاختيار على ما إذا كان الترتيب مهماً أم لا؛ فالتباديل تستخدم إذا كان الترتيب مهماً، مثل اختيار مراكز إدارة (رئيس، نائب، أمين)، بينما تستخدم التوافيق إذا لم يكن الترتيب مهماً، مثل اختيار أعضاء لجنة أو فريق دون تحديد مناصب. فمثلاً، لاختيار لجنة من 3 أشخاص من بين 10 أشخاص، نحسب فضاء العينة بالتوافيق _1_0C_3 ونقسم عدد نواتج الحادثة عليها لنجد الاحتمال بدقة.

الفكرة الأساسية

يعتمد حساب الاحتمال في هذا الدرس على إيجاد عدد نواتج فضاء العينة وعدد نواتج الحادثة باستخدام قواعد العد المتقدمة. عندما تكون تجربة اختيار العناصر ذات خيارات واسعة وكبيرة، لا نستطيع عد النواتج يدوياً، فنستعين بقوانين المضروب والتباديل والتوافيق لتسهيل حساب الاحتمال.

الشرح

نبدأ أولاً بالمضروب $n!$، وهو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي هي أصغر من أو تساوي $n$، ويرمز له بالرمز $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot... \cdot 2 \cdot 1$، مع اتفاقنا أن $0! = 1$.

عندما يكون ترتيب اختيار العناصر مهماً، نستعمل التباديل. يرمز لعدد تباديل $n$ من العناصر مختلفة مأخوذة $r$ في كل مرة بالرمز $_nP_r$، ويحسب بالقانون: $_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}$

أما إذا تكررت بعض العناصر في التباديل، فنستعمل قانون التباديل مع التكرار لعدد عناصر عددها $n$ منها يتكرر عنصر منها $r_1$ من المرات وآخر $r_2$ وهكذا، ليصبح القانون: $\frac{n!}{r_1! \cdot r_2! \cdot... \cdot r_k!}$

وإذا كانت العناصر مرتبة على دائرة، فإننا نستعمل التباديل الدائرية. عدد التباديل المختلفة لـ $n$ من العناصر مرتبة على دائرة يساوي $(n - 1)!$ إذا لم توجد نقطة مرجعية ثابتة، بينما يساوي $n!$ إذا وجدت نقطة مرجعية ثابتة.

أما في الحالات التي لا يكون فيها التترتيب مهماً، فنستعمل التوافيق. يرمز لعدد توافيق $n$ من العناصر المختلفة مأخوذة $r$ في كل مرة بالرمز $_nC_r$، ويحسب بالقانون: $_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!} $

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا أراد مدرب كرة طائرة اختيار 6 لاعبي من بين 10 لاعبي هم أعضاء الفريق، فما احتمال اختيار اللاعبين محمد وعبد الله وعيسى وخالد وفيصل وطلال؟ الخطوة 1: بما أن ترتيب اختيار اللاعبين ليس مهماً، فإن عدد النواتج الممكنة في فضاء العينة يساوي عدد توافيق 10 مأخوذة 6 في كل مرة، أي _1_0C_6. _1_0C_6 = \frac{10!}{6!(10 - 6)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 الخطوة 2: أوجد عدد النواتج التي تتكون منها الحادثة، وفي هذه الحالة يساوي $1 = _6C_6$، وهو اختيار اللاعبين الستة المذكورين، وترتيب اختيارهم ليس مهماً. الخطوة 3: لذا فإن احتمال اختيار اللاعبين الستة هو \frac{_6C_6}{_1_0C_6} = \frac{1}{210}.

أخطاء شائعة

• الخلط بين استخدام التباديل واستخدام التوافيق؛ حيث يستخدم الطالب التباديل عندما يكون الترتيب غير مهم، أو العكس.
• نسيان قسمة مضروب العناصر المتكررة في مقام قانون التباديل مع التكرار.
• طرح عدد العناصر المراد اختيارها من العدد الكلي خطأً في مقام قانون التباديل أو التوافيق.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعملت الأرقام $1, 2, 5, 5, 1, 3$ لتكون عدد مكون من 6 أرقام عشوائياً، ما احتمال أن يكون أول رقم في العدد هو 5 وآخر رقم هو 5 أيضاً؟ الإجابة: $\frac{1}{3}$

السؤال الثاني: اشترك 15 طالباً من الصف الثاني الثانوي في مسابقة ثقافية. إذا اختير منهم 4 طلاب عشوائياً، فما احتمال أن يكونوا: ماجد وعبدالعزيز وخالد وفوزي؟ الإجابة: $\frac{1}{1365}$