7-1 تمثيل فضاء العينة

يقوم هذا الدرس على تمثيل جميع النواتج الممكنة لأي تجربة عشوائية، وهو ما يسمى فضاء العينة. نتعلم كيف نمثل هذه النواتج باستخدام القوائم المنظمة، أو الجداول، أو الرسم الشجري عندما تكون التجربة ذات مرحلتين أو متعددة المراحل. أما إذا أردنا معرفة عدد النواتج الممكنة فقط دون سردها، فنستخدم مبدأ العد الأساسي الذي يعتمد على ضرب عدد النواتج الممكنة في كل مرحلة معاً. فمثلاً، لو رمينا قطعة نقد ثم مكعب مرقم، فإن عدد النواتج يكون بضرب ٢ (عدد وجوه النقد) في ٦ (عدد أوجة المكعب) ليساوي ١٢ ناتجاً ممكناً.

الفكرة الأساسية

فضاء العينة هو مجموعة جميع النواتج الممكنة لتجربة عشوائية. عندما تريد معرفة كل ما يمكن أن ينتج عن هذه التجربة، تستخدم طرائق تمثيل مختلفة مثل القائمة المنظمة، أو الجدول، أو الرسم الشجري. وإذا كان هدفك هو معرفة عدد هذه النواتج فقط دون كتابتها تفصيلياً، فإن مبدأ العد الأساسي يتيح لك ذلك مباشرة عن طريق الضرب.

الشرح

التجربة العشوائية هي إجراء نعرف نواتجه مسبقاً لكننا لا نجزم بالنتيجة التي ستظهر. لتنظيم هذه النواتج، نلجأ إلى طرائق متعددة بحسب مراحل التجربة:

1. القائمة المنظمة والجدول: تفيد في التجارب ذات المرحلتين؛ حيث نقرن كل ناتج ممكن من المرحلة الأولى بكل ناتج ممكن من المرحلة الثانية في أعمدة وصفوف.
2. الرسم الشجري: يعتمد على تفرع الخطوط ليمثل مراحل التجربة، وهو مناسب للتجارب ذات المرحلتين والتجارب متعددة المراحل.
3. مبدأ العد الأساسي: إذا كانت لديك تجربة لها مراحل بعدد $k$, وكان عدد النواتج الممكنة في المرحلة الأولى هو $n_1$, وفي الثانية $n_2$, وهكذا حتى المرحلة الأخيرة $n_k$, فإن العدد الكلي للنواتج الممكنة يساوي حاصل ضربها جميعاً: $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$.

مثال محلول خطوة بخطوة

ألقيت قطعة نقد مرتين. مثل فضاء العينة مستعملاً القائمة المنظمة والجدول والرسم الشجري.

• الخطوة الأولى: نحدد نواتج كل رمية لقطعة النقد وهما الشعار (L) والكتابة (T).
• الخطوة الثانية (القائمة المنظمة والجدول): ندون النواتج الممكنة للرمية الأولى في عمود أو صف، والرمية الثانية في الآخر، لنحصل على الأزواج: (L, L) و(L, T) و(T, L) و(T, T).
• الخطوة الثالثة (الرسم الشجري): نرسم فرعين رئيسيين من نقطة البداية للرمية الأولى (T وL)، ثم من كل فرع نخرج فرعين آخرين للرمية الثانية (T وL)، لتكون فروع النهاية هي فضاء العينة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين إرجاع العنصر وعدم إرجاعه في السحب، مما يغير عدد النواتج الممكنة في المراحل اللاحقة.
• نسيان ضرب بعض المراحل عند تطبيق مبدأ العد الأساسي، أو الاعتماد على الجمع بدلاً من الضرب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: ألقيت قطعة نقد مرة واحدة، ثم رمي مكعب مرقم مرة واحدة أيضاً. مثل فضاء العينة لهذا التجربة باستعمال الرسم الشجري. الإجابة: يتفرع من نقطة البداية فرعان لقطعة النقد (شعار وكتابة)، ثم يتفرع من كل منهما ستة فروع تمثل أوجة المكعب المرقم من 1 إلى 6، ليصبح مجموع النواتج 12 ناتجاً.
• السؤال الثاني: أراد شخص شراء ثوب من بين البدائل المبينة كالتالي: 5 خيارات للقماش، و6 ألوان، و3 أشكال للأكما, و3 أشكال للقبة، وخياران للفتحة الأمامية، وخياران للأزرار. ما عدد النواتج الممكنة لاختيار ثوب مناسب؟ الإجابة: بتطبيق مبدأ العد الأساسي نضرب عدد خيارات كل مرحلة ببعضها: $5 \times 6 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 1080$ خياراً مناسباً.