6-6 البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية، ويشبه تماما إسقاط قطع الدومينو المتتالية بإسقاط القطعة الأولى. يعتمد البرهان على ثلاث خطوات أساسية: الأولى هي برهن أن الجملة صحيحة عندما $n = 1$، والثانية هي افترض أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي $k$ وتسمى فرضية الاستقراء، والثالثة هي برهن أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي التالي $k + 1$. نستخدم هذا الأسلوب لبرهنة المجاميع وقابلية القسمة. على سبيل المثال، لبرهنة أن 1^3 + 2^3 + 3^3 +... + n^3 = rac{n^2(n + 1)^2}{4} لكل عدد طبيعي $n$، نتحقق أولا من صحة الجملة عندما $n = 1$ حيث يتساوى الطرفان، ثم نفترض صحتها عند $k$، وأخيرا نثبت صحتها عند $k + 1$ بإضافة الحد الأخير للطرفين وتبسيط العبارة حتى نطابق الطرف الأيمن للمطلوب.

الفكرة الأساسية

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلقة بالأعداد الطبيعية. تشبه الفكرة قطع الدومينو المتتالية، حيث نحتاج لإسقاط القطع جميعا إلى إسقاط القطعة الأولى، وهذا تماما ما يعتمد عليه البرهان باستقراء الرياضي.

الشرح

لبرهنة أن جملة ما صحيحة للأعداد الطبيعية جميعها $n$، نتبع خطوات أساسية محددة. الخطوة الأولى: برهن أن الجملة صحيحة عندما $n = 1$. الخطوة الثانية: افترض أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي $k$، وهذا الفرض يسمى فرضية الاستقراء. الخطوة الثالثة: برهن أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي التالي $k + 1$.

مثال محلول خطوة بخطوة

برهن أن: 1^3 + 2^3 + 3^3 +... + n^3 = rac{n^2(n + 1)^2}{4} الخطوة 1: عندما $n = 1$، فإن الطرف الأيسر من المعادلة هو $1^3 = 1$. والطرف الأيمن هو rac{1^2(1 + 1)^2}{4} = 1؛ إذن الجملة صحيحة عندما $n = 1$. الخطوة 2: افترض أن 1^3 + 2^3 + 3^3 +... + k^3 = rac{k^2(k + 1)^2}{4} صحيحة، حيث $k$ عدد طبيعي. الخطوة 3: برهن أن الجملة صحيحة عندما $n = k + 1$، أي برهن أن الجملة 1^3 + 2^3 + 3^3 +... + (k + 1)^3 = rac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} صحيحة. نبدأ من فرضية الاستقراء ونجمع $(k + 1)^3$ لكلا الطرفين: 1^3 + 2^3 +... + k^3 + (k + 1)^3 = rac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 نوحد المقامات ونبسط العبارة باستخراج العامل المشترك وتحليل البسط حتى نصل إلى rac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} وهي الطرف الأيمن من المعادلة المطلوب إثباتها عندما $n = k + 1$، وبهذا فإن العلاقة صحيحة عند جميع الأعداد الطبيعية $n$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة تخطي التحقق من الخطوة الأولى عندما $n = 1$، أو عدم استخدام فرضية الاستقراء بالشكل الصحيح في الخطوة الثالثة للوصول إلى الطرف المطلوب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: برهن أن $1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = n^2$ لكل عدد طبيعي $n$. الإجابة: نتحقق عندما $n = 1$ فيكون الطرفان متساويين ويساويان $1$. ثم نفترض الصحة عند $k$ وهي $1 + 3 +... + (2k - 1) = k^2$. ثم نثبت الصحة عند $k + 1$ بإضافة الحد $(2(k + 1) - 1)$ للطرفين وتبسيط المجموع ليصبح $(k + 1)^2$. السؤال الثاني: أعط مثالا مضادا يبين خطأ الجملة: $2^n + 2n^2$ تقبل القسمة على $4$ حيث $n$ أي عدد طبيعي. الإجابة: نجرب القيم المختلفة لـ $n$. عندما $يكون$n = 3$، فإن$2^3 + 2(3)^2 = 8 + 18 = 26$، وعدد$26$لا يقبل القسمة على$4$؛ إذن القيمة$n = 3$ تعد مثالا مضادا للجملة.