6-5 نظرية ذات الحدين

تقوم نظرية ذات الحدين على إيجاد مفكوك أي مقدار على الشكل $(a + b)^n$ دون الحاجة لضرب الأقواس يدوياً متكرراً. تعتمد النظرية على التوافيق لإيجاد معاملات الحدود، حيث يبدأ أس الحد الأول $a$ بالقيمة $n$ ويتناقص تدريجياً حتى الصفر، بينما يبدأ أس الحد الثاني $b$ من الصفر ويتزايد حتى $n$. على سبيل المثال، مفكوك $(a + b)^2$ ينتج عنه ثلاثة حدود معاملاتِها مأخوذة من مثلث باسكال أو التوافيق لتكون الأطراف واحدًا والوسط اثنين، ليصبح الناتج $a^2 + 2ab + b^2$. تتيح لك هذه القاعدة إيجاد أي حد معين أو مفكوك كامل بسرعة ودقة متناهية عبر صيغة الحد العام.

الفكرة الأساسية

نظرية ذات الحدين هي طريقة رياضية سريعة لفك المقادير المكتوبة على الصورة $(a + b)^n$ حيث $n$ عدد طبيعي، بدلاً من ضرب القوس في نفسه يدوياً عدة مرات. تعتمد الفكرة على تنظيم الأسس واستخدام التوافيق أو مثلث باسكال لاستخراج معاملات الحدود بكل سهولة.

الشرح

لكتابة مفكوك $(a + b)^n$، عليك ملاحظة القواعد التالية التي تسري على جميع الحدود:

1. عدد حدود المفكوك دائماً يساوي $n + 1$.
2. أس الحد الأول $a$ يبدأ بالقيمة $n$ ويتناقص بمقدار واحد مع كل حد تالٍ حتى يصل إلى الصفر.
3. أس الحد الثاني $b$ يبدأ بالصفر ويتزايد بمقدار واحد مع كل حد تالٍ حتى يصل إلى القيمة $n$.
4. مجموع الأسس لأي حد في المفكوك يساوي دائماً $n$.
5. معاملات الحدود تُحسب باستخدام التوافيق على الصورة $_nC_k$ أو باستخدام صفوف مثلث باسكال.
6. صيغة الحد العام في المفكوك هي $t_{k+1} = _nC_k a^{n-k} b^k$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مفكوك $(a + b)^4$ باستخدام مثلث باسكال. الخطوة الأولى: بما أن الأس هو $4$، إذن عدد الحدود هو $5$ حدود. الخطوة الثانية: استخرج معاملات الصف الرابع من مثلث باسكال وهي: $1, 4, 6, 4, 1$. الخطوة الثالثة: اكتب أسس $a$ متناقصة من $4$ إلى صفر، وأسس $b$ متزايدة من صفر إلى $4$: $(a + b)^4 = 1a^4b^0 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 4a^1b^3 + 1a^0b^4$ الخطوة الرابعة: بسط الناتج بحذف الأسس الصفرية لتصبح الصورة النهائية: $= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

أخطاء شائعة

1. نسيان أن عدد حدود المفكوك يزيد عن قيمة الأس بمقدار واحد، مما يؤدي إلى حذف الحد الأخير.
2. الخطأ في ترتيب تناقص أس الحد الأول وتزايد أس الحد الثاني.
3. الخلط في إشارات الحدود عندما يكون أحد الحدين سالباً مثل $(a - b)^n$، حيث تبدّل الإشارات بين الموجب والسالب بالتناوب للحدود ذات الأسس الفردية للحد الثاني.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مفكوك $(x + 3)^5$. الإجابة: $x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243$

السؤال الثاني: أوجد قيمة الحد الخامس في مفكوك $(z + y)^{11}$. الإجابة: $330 y^7 z^4$