6-4 المتسلسلات الهندسية اللانهائية

تقوم فكرة المتسلسلات الهندسية اللانهائية على جمع عدد لا نهائي من الحدود. حتى يكون لهذا المجموع قيمة ثابتة، يجب أن تكون المتسلسلة متقاربة، وذلك بأن تكون القيمة المطلقة لأساسها $|r|$ أقل من الواحد الصحيح، وفي هذه الحالة يُحسب المجموع بالقانون $S = \frac{a_1}{1 - r}$ حيث $a_1$ هو الحد الأول و$r$ هو الأساس. أما إذا كانت القيمة المطلقة لـ $r$ أكبر من أو تساوي الواحد، فالقيمة تتباعد بلا حدود وليس لها مجموع. فمثلاً، المتسلسلة $45 + 22.5 + 11.25 + \dots$ أساسها $r = 0.5$ وهي متقاربة لأن $|0.5| < 1$ ومجموعها يساوي $S = \frac{45}{1 - 0.5} = 90$.

الفكرة الأساسية

تخيل أنك تجمع حدوداً هندسية لا تنتهي، ومع ذلك يتوقف المجموع عند رقم ثابت محدد ولا يستمر في النمو إلى ما لا نهاية. هذه هي المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة. السر كله يكمن في النسبة المشتركة بين الحدود أو ما نسميه الأساس $r$.

الشرح

لكي تجد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية، عليك أولاً معرفة ما إذا كانت متقاربة أم متباعدة. انظر إلى قيمة الأساس $r$. إذا كانت القيمة المطلقة للأساس أقل من الواحد الصحيح، أي $|r| < 1$ (أي أن $r$ محصور بين $-1$ و$1$)، فإن حدود المتسلسلة تصغر شيئاً فشيئاً وتقترب من الصفر، وتسمى المتسلسلة حينها متقاربة، ويكون لها مجموع ثابت. أما إذا كانت $|r| \ge 1$، فإن الحدود تكبر أو تثبت ولا تقترب من الصفر، وتسمى متسلسلة متباعدة وليس لها مجموع. مجموع المتسلسلة المتقاربة يُحسب بالصيغة الأساسية: $$S = \frac{a_1}{1 - r}$$ حيث $a_1$ هو الحد الأول للمتسلسلة، و$r$ هو الأساس الذي تجده بقسمة أي حد على الحد السابق له مباشرة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية الآتية إن وجد: $$\frac{2}{3} + \frac{6}{15} + \frac{18}{75} + \dots$$

الخطوة 1: أوجد قيمة $r$ للتأكد من وجود المجموع من عدمه. اقسم الحد الثاني على الحد الأول مباشرة: r = \frac{6}{15} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{5}$| بما أن القيمة المطلقة لـ $r$ وهي $\frac{3}{5}$ أقل من الواحد، فإن المتسلسلة متقاربة ويوجد لها مجموع. الخطوة 2: استعمل معادلة لإيجاد المجموع. الحد الأول $a_1 = \frac{2}{3}$ والأساس $r = \frac{3}{5}$. عوض في الصيغة: S = \frac{$a_{1}$}{1 - r}$$$$S = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{5}}$| S = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{5}}$| \frac{2}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{5}{3}$| إذن مجموع المتسلسلة يساوي $\frac{5}{3}$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان التحقق من قيمة الأساس $r$ قبل تطبيق قانون المجموع. يحاول بعض الطلاب التعويض المباشر في القانون $S = \frac{a_1}{1 - r}$ حتى لو كانت $|r| \ge 1$ مثل المتسلسلة $8 + 12 + 18 + \dots$ والتي أساسها $1.5$، وهذا خطأ جسيم لأن المتسلسلة المتباعدة ليس لها مجموع أصلاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية إن وجد: $4 - 2 + 1 - 0.5 + \dots$ الإجابة: الأساس $r = \frac{-2}{4} = -0.5$ وهو يحقق الشرط $|-0.5| < 1$ إذن هي متقاربة. الحد الأول $a_1 = 4$. والمجموع $S = \frac{4}{1 - (-0.5)} = \frac{4}{1.5} = \frac{8}{3}$.

السؤال الثاني: أوجد قيمة المتسلسلة الممثلة برمز المجموع: $\sum_{k=1}^{\infty} 18 \left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}$ الإجابة: الحد الأول عندما $k=1$ هو $a_1 = 18 \left(\frac{4}{5}\right)^{0} = 18$. والأساس هو $r = \frac{4}{5}$. وبما أن $|\frac{4}{5}| < 1$ فهي متقاربة. المجموع $S = \frac{18}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{18}{\frac{1}{5}} = 90$.