6-3 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

تقوم فكرة المتتابعات والمتسلسلات الهندسية على الضرب المتكرر في عدد ثابث يسمى الأساس بدلاً من الجمع. لإيجاد أي حد نوني نستخدم الصيغة $a_n = a_1 r^{n-1}$، حيث $a_1$ هو الحد الأول و$r$ هو الأساس. أما المتسلسلة الهندسية فهي جمع حدود هذه المتتابعة، ويُحسب مجموع أول $n$ حدًا بالقانون $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ حين يكون $r \neq 1$. مثال ذلك: إذا كان الحد الأول $5$ والأساس $2$، فإن الحد الثاني هو $5 \times 2 = 10$ والحد الثالث $10 \times 2 = 20 وهكذا.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة المتتابعات الهندسية حول الانتقال من حد إلى آخر بالضرب في عدد ثابت يُسمى الأساس، وليس بالجمع كما في الحسابية. فإذا كان لديك الحد الأول $5$ والأساس $2$، فاضرب $5$ في $2$ ليصبح الحد الثاني $10$، ثم اضرب في $2$ مرة أخرى ليصبح الحد الثالث $20$.

الشرح

لحساب أي حد في المتتابعة الهندسية دون الحاجة لكتابة جميع الحدود التي قبله، نستخدم صيغة الحد النوني: $a_n = a_1 r^{n-1}$. هنا $a_n$ يمثل الحد المطلوب، و$a_1$ هو الحد الأول، و$r$ هو أساس المتتابعة، و$n$ هو رتبة الحد. وإذا أردنا جمع عدد معين من حدود هذه المتتابعة، فنحن نتعامل مع متسلسلة هندسية، ونستخدم قانون المجموع الجزئي: $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ بشرط ألا يساوي الأساس واحداً ($r \neq 1$).

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مجموع أول $8$ مراحل لرسائل البريد الإلكتروني إذا كان الحد الأول $a_1 = 5$ والأساس $r = 5$. الخطوة الأولى: حدد المعطيات، وهي $a_1 = 5$ و$r = 5$ و$n = 8$. الخطوة الثانية: اكتب صيغة المجموع المناسبة $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$. الخطوة الثالثة: عوض بالأرقام $S_8 = \frac{5(1 - 5^8)}{1 - 5}$. الخطوة الرابعة: احسب الناتج في البسط والمقام ليصبح $S_8 = \frac{5(1 - 390625)}{-4}$ وهو ما يعطي الناتج النهائي $488280$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان طرح واحد من الأس في صيغة الحد النوني، بحيث يكتب الطالب $a_n = a_1 r^n$ والصحيح هو $a_n = a_1 r^{n-1}$. خطأ آخر يحدث عند حساب أسس الأعداد السالبة داخل الأقواس في المتسلسلات.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الحد النوني للمتتابعة الهندسية التي فيها $a_1 = 2$ والأساس $r = 4$. الإجابة: $a_n = 2(4)^{n-1}$. السؤال الثاني: أوجد مجموع أول $5$ حدود من المتسلسلة الهندسية التي فيها $a_1 = 3$ والأساس $r = 2$. الإجابة: $93$.