6-2 المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

تقوم فكرة المتتابعة الحسابية على زيادة العدد أو نقصه بمقدار ثابت يسمى الأساس ويرمز له بالرمز d. لحساب أي حد نونى فيها نستخدم الصيغة $a_{n} = a_{1}$ + (n - 1)d حيث $a_{1}$ هو الحد الأول وn هو رتبة الحد. أما المتسلسلة الحسابية فهي مجموع حدود تلك المتتابعة، ويمكن إيجاد مجموع أول n حد منها باستخدام صيغة المجموع $S_{n}$ = \frac{n}{2}($a_{1} + a_{n}$) أو الصيغة البديلة التي تعتمد على الحد الأول والأساس وعدد الحدود. مثال سريع: إذا كان الحد الأول يساوي 9 والأساس يساوي 7، فإن الحد الثاني عشر يعطى بتطبيق القاعدة فيكون الناتج 86.

الفكرة الأساسية

لو زادت الأعداد بمقدار ثابت في كل خطوة، كأن تضيف 3 في كل مرة لتصبح الأعداد 5 ثم 8 ثم 11، فأنت أمام متتابعة حسابية. هذا الثابت هو الأساس d. وإذا أردت جمع هذه الحدود، فأنت تتعامل مع متسلسلة حسابية.

الشرح

لإيجاد أي حد نوني في المتتابعة الحسابية، نستخدم الصيغة $a_n = a_1 + (n - 1)d$ حيث $a_n$ هو الحد المطلوب، و$a_1$ هو الحد الأول، و$n$ هو رتبة الحد، و$d$ هو الأساس الذي تجده بطرح أي حد من الحد الذي يسبقه. وإذا أردت إيجاد مجموع أول $n$ حد من المتسلسلة الحسابية، فلديك صيغتان أساسيتان: الأولى هي $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ والثانية هي الصيغة البديلة $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$ التي تستخدم عندما لا يكون الحد الأخير معلوماً. كما يمكن اختصار كتابة المتسلسلة باستخدام رمز المجموع سيجما $\sum$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة الحد الثاني عشر في المتتابعة الحسابية: 9، 16، 23، 30،... الخطوة 1: أوجد أساس المتتابعة $d$ بطرح أي حدين متتاليين: $16 - 9 = 7$ إذن $d = 7$. الخطوة 2: حدد معطياتك، الحد الأول $a_1 = 9$ ورتبة الحد المطلوب $n = 12$. الخطوة 3: اكتب صيغة الحد النوني في المتتابعة الحسابية وعوض بالأرقام: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ $a_{12} = 9 + (12 - 1)(7)$ $a_{12} = 9 + 11(7)$ $a_{12} = 9 + 77 = 86$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو نسيان طرح 1 من رتبة الحد $n$ عند استخدام قانون الحد النوني فتكتب $(n)d$ خطأً والصواب $(n - 1)d$. الخطأ الثاني هو الخلط بين الإشارات عند حساب الأساس $d$ عندما تكون المتتابعة متناقصة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد الحد المجهول $a_{20}$ علماً بأن $a_1 = -4$ و$d = 6$ و$n = 9$؟ الإجابة: $a_{20}$ غير مطلوب بهذا الشكل بل المطلوب $a_9$ بناءً على المعطيات، فإذا كان $n = 9$ يكون الحد هو $a_9 = -4 + (9 - 1)(6) = 44$. السؤال الثاني: أوجد مجموع أول 50 عدداً طبيعياً؟ الإجابة: المتسلسلة هي $1 + 2 + 3 +... + 50$ حيث $a_1 = 1$ و$a_{50} = 50$ و$n = 50$، والمجموع يكون $S_{50} = \frac{50}{2}(1 + 50) = 25(51) = 1275$.