6-1 المتتابعات بوصفها دوال
انظر إلى أعلى الصفحة لتبدأ رحلتنا مع المتتابعات بوصفها دالّات. المتتابعة هي مجموعة من الأعداد مرتبة في نمط معين، ونرمز لحدودها بالرمز حيث هو رقم الحد أو موضعه، وهو يمثل مجال الدالة والمجموعة من الأعداد الطبيعية. أما المدى فهو مجموعة قيم الحدود الناتجة. المتتابعة الحسابية هي التي يزيد فيها كل حد عن الحد الذي يسبقه بمقدار ثابت يسمى الأساس. انظر إلى المثال الأول: لتحديد إن كانت المتتابعة حسابية أم لا، اطرح كل حد من الحد الذي يسبقه مباشرة، فإن كان الناتج ثابتاً في كل مرة فهي حسابية. في الفرع a لدينا المتتابعة ولنبحث عن الأساس: اطرح لتجد الناتح ، ثم اطرح فتجد الناتح أيضاً ، وهكذا مع بقية الحدود. بما أن الفرق ثابت وهو ، إذن هذه متتابعة حسابية. أما في الفرع b فطرحنا الحدود ووجدنا الفرق غير ثابث، إذن هي ليست حسابية.
المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة الاعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها مجموعة جزئية من الاعداد الحقيقية. تنقسم المتتابعات إلى نوعين رئيسيين؛ المتتابعة الحسابية التي يضاف فيها قيمة ثابتة تسمى الفرق المشترك أو الأساس للحصول على الحد التالي، والمتتابعة الهندسية التي يضرب فيها الحد السابق في عدد ثابت يسمى النسبة المشتركة أو الاساس. لمعرفة ما إذا كانت المتتابعة حسابية نطرح كل حد من الحد الذي يسبقه لنجد الفرق، ولمعرفة ما إذا كانت هندسية نقسم كل حد على الحد السابق لنجد النسبة. مثال: المتتابعة 3, 6, 9, 12 هي متتابعة حسابية أساسها 3 لأننا نضيف 3 في كل مرة للحصول على الحد التالي.
الفكرة الأساسية
المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة الاعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها مجموعة جزئية من الاعداد الحقيقية. ترتب العناصر بحيث يقابل كل عدد طبيعي حدا في المتتابعة.
الشرح
المتتابعة الحسابية هي دالة يضاف فيها قيمة ثابتة إلى الحد الذي يسبقه مباشرة، وتسمى هذه القيمة الثابتة الفرق المشترك أو الاساس. إذا كان الفرق بين أي حد والذي يسبقه ثابتا، فهي متتابعة حسابية. أما المتتابعة الهندسية فهي دالة يمكن الحصول على أي حد من حدودها بضرب الحد السابق له مباشرة في عدد ثابت يسمى اساس المتتابعة أو النسبة المشتركة. التمثيل البياني للمتتابعة الحسابية يقع على مستقيم واحد، مما يعني أنها دالة خطية مجالها المتغير المستقل وهو رقم الحد ن، ومداها أو متغيرها التابع هو الحد ، والميل هو أساسها الذي هو الفرق الثابت. بينما التمثيل البياني للمتتابعة الهندسية يمثل دالة أسية.
مثال محلول خطوة بخطوة
حدد ما إذا كانت المتتابعة الآتية حسابية أم لا: 5, -6, -17, -28 الخطوة 1: أوجد الفرق بين كل حدين متتاليين بطرح الحد السابق من الحد التالي. الخطوة 2: قارن النواتج. بما أن الفرق الثابت هو -11، إذن النواتج متساوية والفرق ثابت. النتيجة: المتتابعة حسابية.
أخطاء شائعة
الخطأ الشائع هو طرح الحد التالي من الحد السابق بدلا من طرح الحد السابق من الحد التالي عند إيجاد أساس المتتابعة الحسابية. كذلك قسمة الحد السابق على الحد التالي بدلا من قسمة الحد التالي على الحد السابق عند إيجاد النسبة المشتركة في المتتابعة الهندسية.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: بين ما إذا كانت المتتابعة الآتية حسابية أم لا: 7, 12, 16, 20 الإجابة: و، بما أن الفرقين غير متساويين، إذن المتتابعة ليست حسابية. السؤال الثاني: أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة الحسابية: 18, 14, 10 الإجابة: أساس المتتابعة هو ، إذن الحدود الأربعة التالية هي: 6, 2, -2, -6.