توسع 6-5 معمل الحاسبة البيانية : حل المعادلات والمتباينات النَّسبيّة

يعتمد هذا الدرس على استخدام الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات والمتباينات النسبية بطرائق مرئية سريعة. الفكرة الأساسية تقوم على تمثيل طرفي المعادلة كدالتين مستقلتين على الشاشة البيانية، ثم البحث عن نقاط التقاطع التي تمثل حلولاً للمعادلة، أو مقارنة مناطق التظليل لتحديد مجموعة حل المتباينة. وللتحقق من صحة الحل، يمكن استخدام جداول البيانات لتعويض القيم ومقارنة المخرجات. كمثال سريع، لحل المعادلة $\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x} = 0$ بيانيا، نمثل طرفيها ونضرب في المضاعف المشترك الأصغر للتوصل إلى الحل $x = -\frac{1}{2}$ بطريقة دقيقة ومباشرة دون الحاجة للعمليات الجبرية المعقدة وحدها.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة على تحويل الألغاز الجبرية المعقدة في المعادلات والمتباينات النسبية إلى أشكال مرئية ورسوم بيانية واضحة باستخدام الحاسبة البيانية TI-nspire، بحيث تتحول عملية إيجاد الحل إلى قراءة نقاط التقاطع أو مناطق التظليل.

الشرح

عندما تواجه معادلة أو متباينة تحتوي على متغير في المقام، فبدلاً من الغرق في توحيد المقامات والضرب التبادلي الطويل، يمكنك فصل طريقي المعادلة وجعلهما دالتين مستقلتين. انظر إلى الشاشة: ندخل الطرف الأيمن كدالة أولى والطرف الأيسر كدالة ثانية. نقطة التقاطع بين الرسمين البيانيين هي الحل المباشر للمعادلة لأنها تمثل القيمة التي تتساوى عندها قيمتا الدالتين. أما في المتباينة، فنكتبها على صورة نظام متباينات مثل مقارنة دالتين بأكبر من أو أصغر من، ثم تظهر لنا مناطق التظليل الملونة على الشاشة، وتكون مجموعة الحل هي الفترة التي تتحقق فيها المتباينة. وللتأكد من صحة الحل، افتح جدول البيانات، واكتب قيم المتغير $x$ بزيادات منتظمة، وراقب عمودي المخرجات للتدقيق في القيم التي تتطابق عندها الدالتان.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ المعادلة $\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x} = 0$: الخطوة الأولى: حدد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات وهو $x(x+2)$. الخطوة الثانية: اضرب طرفي المعادلة في $x(x+2)$ للتخلص من الكسور: $x(x+2)(\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x}) = x(x+2)(0)$ الخطوة الثالثة: وزع واختصر الحدود: $3(x) + 1(x+2) = 0$ $3x + x + 2 = 0$ $4x + 2 = 0$ الخطوة الرابعة: أصل إلى قيمة $x$ بنقل الثوابت وقسمة الطرفين على معامل $x$: $4x = -2$ $x = -\frac{1}{2}$ الخطوة الخامسة: تحقق من صحة الحل بالتعويض بالقيمة في الطرف الأيمن لتجد أن الناتج يساوي صفرًا تمامًا.

أخطاء شائعة

نسيان استثناء قيم المتغير التي تجعل المقام مساوياً للصفر قبل الشروع في الحل البياني أو الجبري. الخطأ في إدخال الأقواس عند كتابة الدالة النسبية في الحاسبة البيانية، مما يغير ترتيب العمليات الحسابية. الخلط بين نقاط التقاطع مع محور السينات ومقاطع التقاطع بين دالتين مختلفتين في المعادلة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $\frac{1}{x-4} = \frac{2}{x-2}$. الإجابة: $x = -2$. السؤال الثاني: حل المعادلة $\frac{3}{x+2} = \frac{1}{x}$. الإجابة: $x = -1$.