5-6 حل المعادلات والمتباينات النَّسبيّة

يقوم درس حل المعادلات والمتباينات النسبية على فكرة التخلص من المقام الكسري بضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات. هذا يحول المعادلة النسبية إلى معادلة خطية أو تربيعية سهلة الحل. ومن الضروري التحقق من صحة الحل باستثناء القيم التي تجعل المقام صفرا، لأنها تنتج حلولا دخيلة. في المتباينات، نحدد القيم المستثناة ونحل المعادلة المرتبطة لنقسم خط الأعداد إلى فترات، ثم نختبر قيمة من كل فترة لنحدد أين تتحقق المتباينة. خذ المعادلة $\frac{2x}{x+5} - \frac{x^2-x-10}{x^2+8x+15} = \frac{3}{x+3}$. نضرب الجميع في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات وهو $(x+3)(x+5)$ للتخلص من الكسور، لنصل إلى تحليل المعادلة وفي النهاية نجد الحلول مع استثناء ما يجري في المقام صفرا.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على التعامل مع المعادلات والمتباينات التي تحتوي على عبارات نسبية، وهدفنا هو التخلص من المقامات الكسرية عبر استخدام المضاعف المشترك الأصغر للمقامات ليصبح التعامل معها سهلا كالمعادلات الخطية أو التربيعية، مع الحذر الدائم من الحلول الدخيلة التي تجعل المقام صفرا.

الشرح

لكي تحل معادلة نسبية، عليك أولا تحليل جميع المقامات لتجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات الذي يسمى اختصارا LCM. بعد ذلك، اضرب طرفي المعادلة في هذا المضاعف المشترك الأصغر لتختصر المقامات وتتخلص من الكسور تماما. بعد التخلص من الكسور، بسط الطرفين واستخدم خواص التوزيع والجمع والطرح لتصل إلى معادلة بسيطة مثل معادلة تربيعية. حل هذه المعادلة الناتجة بالطرق المعتادة مثل التحليل إلى عوامل واستخدام خاصية الضرب الصفري. وقبل أن تعتمد إجابتك، تحقق منها بتعويض القيم في المعادلة الأصلية، وعليك استثناء أي قيمة تجعل أحد المقامات صفرا لأنها تمثل حلا دخيلا لا يصح قبوله. أما في المتباينات النسبية، فالأمر يمر بخطوات إضافية: حدد القيم المستثناة التي تجعل المقام صفرا، ثم حل المعادلة المرتبطة بعد وضع مساواة بدل رمز المتباينة، واستعمل هذه القيم مع القيم المستثناة لتقسيم خط الأعداد إلى فترات، ثم اختبر قيمة من كل فترة لتعرف أي الفترات تحقق المتباينة الأصلية.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ المعادلة: $\frac{2x}{x+5} - \frac{x^2-x-10}{x^2+8x+15} = \frac{3}{x+3}$ الخطوة الأولى: لاحظ أن تحليل المقام الثاني يعطي $(x+3)(x+5)$، وهو نفسه المضاعف المشترك الأصغر للمقامات أي LCM. الخطوة الثانية: اضرب طرفي المعادلة في هذا المضاعف المشترك الأصغر $(x+3)(x+5)$. الخطوة الثالثة: اختصر العوامل المشتركة في البسط والمقام لكل كسر. الخطوة الرابعة: بسط العبارة الناتجة واستخدم خاصية التوزيع لتصبح $(x+3)(2x) - (x^2-x-10) = 3(x+5)$. الخطوة الخامسة: فك الأقواس ونظّم الحدود ليصبح لديك $2x^2 + 6x - x^2 + x + 10 = 3x + 15$. الخطوة السادسة: بسط الطرفين ليظهر لك $x^2 + 7x + 10 = 3x + 15$. الخطوة السابعة: اطرح $3x + 15$ من كلا الطرفين لتصبح المعادلة على الصورة القياسية: $x^2 + 4x - 5 = 0$. الخطوة الثامنة: حلل إلى عوامل لتصبح $(x+5)(x-1) = 0$. الخطوة التاسعة: استخدم خاصية الضرب الصفري ليصبح لديك $x+5 = 0$ أو $x-1 = 0$، ومنها تكون النتيجة $x = -5$ أو $x = 1$. الخطوة العاشرة والأهم: تحقق من الحلول بالتعويض؛ عند تعويض $x = -5$ ينجم صفر في المقام، إذن هو حل دخيل ويُستثنى. أما عند تعويض $x = 1$ فالطرفان متساويان، إذن الحل المقبول الوحيد هو $x = 1$.

أخطاء شائعة

من أبرز الأخطاء نسيان استثناء القيم التي تجعل المقام صفرا من مجموعة الحل، مما يجعل الطالب يقع في فخ قبول حل دخيل يفسد المعادلة. ومن الخطأ أيضا ضرب بعض الحدود في المضاعف المشترك الأصغر ونسيان حدود أخرى في نفس الطرف. خطأ آخر يحدث عند حل المتباينات وهو عدم اختبار الفترات الصحيحة على خط الأعداد أو الخلط بين إشارات المتباينة عند القسمة على عدد سالب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حُل المعادلة $\frac{4}{7} + \frac{3}{x-3} = \frac{53}{56}$. الإجابة: $x = 7$. السؤال الثاني: حُل المعادلة $\frac{1}{24} + \frac{1}{j} = \frac{1}{18}$. الإجابة: $j = 72$.