5-5 دوال التَّغيُّر

يقوم الدرس على ربط المتغيرات ببعضها عبر أربعة أنواع من التغير. التغير الطردي يعني أن زيادة قيمة تؤدي لزيادة الأخرى بنسبة ثابتة وفق المعادلة $y = kx$. التغير المشترك يحدث عندما تتغير كمية طردياً مع حاصل ضرب كميتين أو أكثر مثل $y = kxz$. التغير العكسي يعني أن زيادة قيمة تنقص الأخرى بحيث يبقى حاصل ضربهما ثابتاً مثل $xy = k$. التغير المركب يجمع بين التغير الطردي والعكسي معاً في علاقة واحدة. يعتمد حل المسائل على إيجاد ثابت التغير $k$ أو استخدام التناسبات المباشرة مثل $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$. مثال سريع: إذا كانت $y$ تتغير طردياً مع $x$ وكانت $y = 15$ عندما $x = 5$، فإن ثابت التغير هو $k = \frac{15}{5} = 3$، وبذلك تصبح المعادلة $y = 3x$، وعندما $x = 7$ تكون $y = 3(7) = 21$.

الفكرة الأساسية

يدور الدرس حول دراسة كيفية ارتباط الكميات بعضها ببعض وكيف تتغير بتغير قيمها. يعتمد على إيجاد العلاقة الرياضية وثابت التغير بين المتغيرات سواء كانت العلاقة تصاعدية طردية أو عكسية أو تجمع بينهما.

الشرح

ينقسم التغير إلى أربعة أنواع رئيسية:

1. التغير الطردي: يعني أن المتغيرين يزدادان معاً أو ينقصان معاً بنسبة ثابتة تسمى ثابت التغير $k$. التعبير اللفظي هو: تتغير $y$ طردياً مع $x$ إذا وجد عدد $k \neq 0$ بحيث $y = kx$. ولحل المسائل نستخدم التناسب: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$.
2. التغير المشترك: يحدث عندما تتغير كمية ما طردياً مع حاصل ضرب كميتين أخرين أو أكثر. التعبير اللفظي هو: تتغير $y$ تغيراً مشتركاً مع $x$ و $z$ إذا وجد عدد $k \neq 0$ بحيث $y = kxz$. ونستخدم تناسباً يربط القيم: $\frac{y_1}{x_1 z_1} = \frac{y_2}{x_2 z_2}$.
3. التغير العكسي: يحدث عندما تزيد إحدى الكميتين بينما تنقص الأخرى بالمقابل بحيث يظل حاصل ضربهما ثابتاً. التعبير اللفظي هو: تتغير $y$ عكسياً مع $x$ إذا وجد عدد $k \neq 0$ بحيث $xy = k$ أو $y = \frac{k}{x}$ حيث $x \neq 0$ و $y \neq 0$. ونستخدم التناسب: $x_1 y_1 = x_2 y_2$ أو $\frac{x_1}{y_2} = \frac{x_2}{y_1}$.
4. التغير المركب: يحدث عندما تتغير كمية ما طردياً أو عكسياً أو كليُهما معاً مع كميتين أخريين أو أكثر. في العلاقة $y = \frac{kx}{z}$ تظهر الكميات التي تتغير طردياً مع $y$ في البسط، أما التي تتغير عكسياً فتظهر في المقام. ونستخدم التناسب: $\frac{y_1 z_1}{x_1} = \frac{y_2 z_2}{x_2}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كانت $y$ تتغير طردياً مع $x$، وكانت $y = 15$ عندما $x = 5$، فأوجد قيمة $y$ عندما $x = 7$.

• الخطوة الأولى: كتابة التناسب الطردي المناسب للربط بين القيم: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$.
• الخطوة الثانية: تعويض المعطيات في القانون بحيث يكون $y_1 = 15$ و $x_1 = 5$ و $x_2 = 7$ و $y_2$ مجهولة، فتصبح المعادلة: $\frac{15}{5} = \frac{y_2}{7}$.
• الخطوة الثالثة: إجراء الضرب التبادلي: $15(7) = 5(y_2)$.
• الخطوة الرابعة: تبسيط الطرف الأيسر: $105 = 5y_2$.
• الخطوة الخامسة: قسمة كل من الطرفين على $5$ لإيجاد قيمة $y_2$: $21 = y_2$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين مواقع المتغيرات في التغير المركب، حيث يخطئ البعض في وضع المتغير الذي يتغير عكسياً في البسط بدلاً من المقام.
• نسيان شرط أن ثابت التغير $k$ لا يساوي صفراً.
• الخطأ في تعويض قيم المتغيرات المتناظرة في التناسبات العكسية بحيث توضع القيم بشكل مقلوب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت $r$ تتغير طردياً مع $t$، وكانت $r = -20$ عندما $t = 4$، فأوجد قيمة $r$ عندما $t = -6$. الإجابة: $r = 30$. السؤال الثاني: إذا كانت $x$ تتغير عكسياً مع $y$، وكانت $x = 24$ عندما $y = -4$، فأوجد قيمة $x$ عندما $y = -12$. الإجابة: $x = 8$.