5-4 تمثيل الدوال النَّسبيّة بيانيا

يقوم تمثيل الدوال النسبية بيانيا على دراسة المجال، وإيجاد خطوط التقارب الرأسية والأفقية، وتحديد نقاط الانفصال. الدالة النسبية هي دالة تكتب على صورة بسط ومقام كلاهما كثيرتا حدود. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية عدا التي تجعل المقام صفراً، وخط التقارب الراسي يحدث عند اصفار المقام التي لا تقابلها أصفار في البسط، بينما خط التقارب الأفقي يعتمد على مقارنة درجة البسط بدرجة المقام. إذا كان هناك عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن اختصاره، فتنتج نقطة انفصال تظهر كفجوة في التمثيل البياني. مثال: لتمثيل الدالة f(x) = \frac{x^2}{x-1}، المجال هو جميع الأعداد عدا x = 1، ويوجد خط تقارب راسي عند x = 1، ولا يوجد خط تقارب أفقي لأن درجة البسط أكبر من درجة المقام، ثم ننشئ جدولاً لقيم x و f(x) ونرسم المنحنى.

الفكرة الأساسية

الدالة النسبية هي دالة يمكن كتابتها على صورة نسبة بين كثيرتي حدود $f(x) = \frac{a(x)}{b(x)}$ حيث $b(x) \neq 0$. لتمثيل هذه الدالة بيانيا، نحتاج إلى معرفة سلوكها عند الاقتراب من القيم التي لا تنتمي إلى مجالها، وهنا يأتي دور خطوط التقارب الرأسية والأفقية ونقاط الانفصال التي ترسم حدوداً وهمية ينقسم المنحنى الاقترابي عندها.

الشرح

لكي ترسم أي دالة نسبية بدقة، عليك اتباع خطوات مرتبطة بخصائص الدالة الجبرية:

1. المجال: مجال الدالة النسبية هو جميع الأعدا الحقيقية باستثناء القيم التي تجعل المقام $b(x) = 0$.
2. خطوط التقارب الرأسية: توجد للدالة $f(x)$ خطوط تقارب رأسية عند الأقيم التي تجعل المقام صفرا بشرط ألا تجعل البسط صفرا في نفس الوقت.
3. خطوط التقارب الأفقية: نحددها بمقارنة درجة كثيرتي الحدود في البسط والمقام:

• إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي.
• إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن خط التقارب الأفقي هو المستقيم y = 0.
• إذا تساوت درجة البسط مع درجة المقام، فإن خط التقارب الأفقي هو المستقيم $y = \frac{\text{المعامل الرئيس لـ } a(x)}{\text{المعامل الرئيس لـ } b(x)}$.

4. نقاط الانفصال: إذا كان هناك عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن اختصاره عند قيمة معينة x = c، فإن الدالة تكون غير معرفة عند هذه النقاط وتظهر في التمثيل البياني كفجوة أو نقطة انفصال.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل الدالة $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ بيانيا. الخطوة 1: أوجد مجال الدالة بحساب القيم التي تجعل المقام صفرا، أي x - 4 = 0 إذن x = 4. إذن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = 4. الخطوة 2: بسط الدالة بتحليل البسط والمقام: $f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$ بما أن العامل (x - 4) مشتركة في البسط والمقام، فيمكن اختصارها ليصبح شكل الدالة المبسط هو $f(x) = x + 4$ بشرط أن x \neq 4. الخطوة 3: حدد نوع النقطة عند x = 4، وبما أن العامل اختصر، توجد نقطة انفصال عند x = 4. الخطوة 4: ارسم خط المستقيم $f(x) = x + 4$ وضع فجوة دائرية عند النقطة التي احداثيها x = 4.

أخطاء شائعة

• نسيان استثناء أصفار المقام من مجال الدالة النسبية واعتبارها معرفة لكل الأعداد الحقيقية.
• الخلط بين خط التقارب الراسي ونقطة الانفصال؛ حيث تكون نقطة الانفصال موجودة إذا وجد عامل مشترك في البسط والمقام يمكن حذفه، بينما خط التقارب الراسي يظهر عندما يبقى المقام صفرا بعد التبسيط.
• الخطأ في مقارنة درجات البسط والمقام عند تحديد خط التقارب الأفقي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما معادلة خط التقارب الراسي للدالة $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$؟ الإجابة: x = 3

السؤال الثاني: أوجد مجال الدالة $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$. الإجابة: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا x = -1 و x = 1