5-3 تمثيل دوال المقلوب بيانيا

تقوم فكرة درس تمثيل دوال المقلوب بيانيا على فهم كيفية رسم الدوال التي تحتوي على متغير في المقام، مثل الدالة الأم $f(x) = \frac{1}{x}$. يعتمد رسم هذه الدوال على تحديد خطوط التقارب الرأسية والأفقية. خط التقارب الرأسي ينتج عن القيم التي تجعل المقام صفرا وتصبح الدالة عندها غير معرفة، بينما خط التقارب الأفقي يحدد سلوك طرفي التمثيل البياني. الصورة العامة لدالة المقلوب هي $f(x) = \frac{a}{x-b} + c$. مثال سريع: للدالة $f(x) = \frac{2}{x-3}$, يكون خط التقارب الرأسي عند $x = 3$ لأن المقام يصبح صفرا عنده، وخط التقارب الأفقي عند $y = 0$. مجال هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $3$, ومداها جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $0$.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول كيفية رسم التمثيل البياني لدوال المقلوب وتحديد خصائصها مثل المجال والمدى وخطوط التقارب. الدالة الأم هي $f(x) = \frac{1}{x}$ ومجالها جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $0$. والشكل الناتج يسمى قطعا زائدا.

الشرح

الصورة العامة لدالة المقلوب هي $f(x) = \frac{a}{x-b} + c$ حيث $a \neq 0$. لكي نرسم هذه الدالة أو نحدد خصائصها، نبدأ بخطوط التقارب. خط التقارب الرأسي هو مستقيم يقترب منه التمثيل البياني ولكنه لا يمسه، ويحدث عند قيمة $x$ التي تجعل المقام مساويا لصفر، أي $x = b$. أما خط التقارب الأفقي فيبين سلوك طرفي التمثيل البياني، ويقع عند القيمة $y = c$. مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا القيمة التي تجعل المقام صفرا، أي $x \neq b$. ومدى الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا قيمة خط التقارب الأفقي، أي $y \neq c$.

مثال محلول خطوة بخطوة

حدد خطوط التقارب والمجال والمدى للدالة $f(x) = \frac{2}{x-3}$. الخطوة الأولى: إيجاد خط التقارب الرأسي. نجعل المقام مساويا لصفر لنعرف القيمة التي تجعل الدالة غير معرفة. اكتب المعادلة $x - 3 = 0$. أضف $3$ للطرفين ليصبح الناتج $x = 3$. إذن خط التقارب الرأسي هو $x = 3$. الخطوة الثانية: إيجاد خط التقارب الأفقي. بالنظر إلى الصورة العامة $f(x) = \frac{a}{x-b} + c$, نجد هنا أن $c = 0$. إذن خط التقارب الأفقي هو $y = 0$. الخطوة الثالثة: تحديد المجال والمدى. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $3$. والمدى هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $0$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع الظن بأن التمثيل البياني لدالة المقلوب يقطع خطوط التقارب الرأسية أو الأفقية، والصحيح أنه يقترب منها جدا دون أن يمسها أو يقطعها. ومن الأخطاء أيضا مساواة البسط بصفر بدلا من المقام عند البحث عن القيمة التي تجعل الدالة غير معرفة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد قيمة $x$ التي تجعل الدالة $f(x) = \frac{5}{4x-8}$ غير معرفة. الإجابة: نساوي المقام بصفر، $4x - 8 = 0$, إذن $4x = 8$, ومنها $x = 2$. السؤال الثاني: حدد خط التقارب الرأسي وخط التقارب الأفقي للدالة $f(x) = \frac{3}{x+2} - 1$. الإجابة: خط التقارب الرأسي هو $x = -2$, وخط التقارب الأفقي هو $y = -1$.