5-2 جمع العبارات النسبية وطرحها

يقوم جمع العبارات النسبية وطرحها على فكرة توحيد المقامات تماماً مثل الكسور الاعتيادية. وحين تكون المقامات مختلفة، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود عبر تحليلها إلى عواملها الأولية ثم ضرب جميع العوامل التي لها الأس الأكبر. بعد توحيد المقامات، يتم جمع البسوط أو طرحها مع الحفاظ على المقام المشترك وتبسيط الناتج. مثال ذلك جمع الكسرين $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$؛ حيث يكون المضاعف المشترك الأصغر للمقامين هو $15$، لتصبح العبارة $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}$ والتي تساوي $\frac{6 + 5}{15} = \frac{11}{15}$. وتشمل المهام أيضاً تبسيط الكسور المركبة عبر توحيد مقامات البسط والمقام أو بالضرب في (LCM) الخاص بهما.

الفكرة الأساسية

يعتمد جمع العبارات النسبية وطرحها على مبدأ توحيد المقامات تماماً مثل العمليات على الكسور الاعتيادية. يتطلب توحيد المقامات إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للحدود أو كثيرات الحدود، وهو الأساس الذي يجعل العبارات قابلة للجمع أو الطرح.

الشرح

لجمع أو طرح عبارتين نسبيتين مثل $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}$، فإن القاعدة العامة هي $\frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}$، مع استثناء أن $b \neq 0$ و $d \neq 0$. ومن الأفضل دائماً إيجاد المقام المشترك الأصغر (LCM) للمقامات لتجنب الأرقام الكبيرة. ولإيجاد (LCM) لعددين أو لكثيرتي حدود أو أكثر، يجب أن تحلل كل منها إلى عواملها الأولية أولاً، ثم تضرب جميع العوامل التي لها الأس الأكبر. أما في الكسور المركبة، فيمكن التبسيط إما بتوحيد مقامات البسط والمقام على حدة ثم قسمة العبارتين بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه، أو بإيجاد (LCM) لمقامات البسط والمقام وضرب كل من البسط والمقام فيه مباشرة.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنبسط العبارة الآتية: $$\frac{5}{6x - 18} - \frac{x - 1}{4x^2 - 14x + 6}$$

الخطوة الأولى: تحليل المقامين. المقام الأول: $6x - 18 = 6(x - 3)$ المقام الثاني: $4x^2 - 14x + 6 = 2(2x - 1)(x - 3)$

الخطوة الثانية: إيجاد المقام المشترك الأصغر (LCM) وتوحيد المقامات. LCM هو $6(x - 3)(2x - 1)$ إذن تصبح العبارة: $$\frac{5(2x - 1)}{6(x - 3)(2x - 1)} - \frac{(x - 1)(3)}{2(2x - 1)(x - 3)(3)}$$

الخطوة الثالثة: طرح البسوط وتوزيع الضرب. $$\frac{10x - 5 - 3x + 3}{6(x - 3)(2x - 1)}$$

الخطوة الرابعة: التبسيط النهائي بجمع الحدود المتشابهة في البسط. $$\frac{7x - 2}{6(x - 3)(2x - 1)}$$

أخطاء شائعة

• جمع أو طرح المقامات مباشرة دون توحيدها مثل جمع الكسور الاعتيادية بشكل خاطئ.
• نسيان توزيع إشارة السالب عند طرح كسر يضم مقداراً جبرياً في البسط.
• إغفال تحديد قيود المتغيرات في المقام بحيث لا يساوي الصفر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أجد (LCM) لكثيرات الحدود الآتية: $y^4 + 8y^3 + 15y^2$ , $y^2 - 3y - 40$ الإجابة: تحليل المقدار الأول: $y^2(y + 5)(y + 3)$ تحليل المقدار الثاني: $(y + 5)(y - 8)$ إذن (LCM) هو: $y^2(y + 5)(y + 3)(y - 8)$

السؤال الثاني: بسط العبارة الآتية: $$\frac{4}{5a^3b^2} + \frac{9c}{10ab}$$ الإجابة: (LCM) للمقامات هو $10a^3b^2c$ بعد توحيد المقامات والجمع تصبح العبارة: $$\frac{8 + 9a^2bc}{10a^3b^2}$