5-1 ضرب العبارات النسبية وقسمتها

يقوم الدرس على تبسيط وضرب وقسمة العبارات النسبية، وهي عبارات تمثل نسبة بين كثيرتي حدود تشبه الكسور الاعتيادية تماماً. الفكرة الأساسية تعتمد على تحليل البسط والمقام إلى العوامل الأولية أو إيجاد القاسم المشترك الأكبر لاختصار العوامل المشتركة، مع الانتبه لعدم المساواة بالصفر في المقام لتحديد قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة. في حالة الضرب نضرب البسط في البسط والمقام في المقام، وفي حالة القسمة نضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه بعد تحويلها إلى ضرب. مثال سريع: لبسط العبارة $\frac{5x(x^2 + 4x + 3)}{(x - 6)(x^2 - 9)}$ نحلل البسط والمقام إلى $(x+3)(x+1)$ و $(x-3)(x+3)$ ثم نختصر العامل المشترك $(x+3)$ لنحصل على $\frac{5x(x+1)}{(x-6)(x-3)}$.

الفكرة الأساسية

العبارة النسبية هي نسبة بين كثيرتي حدود تشبه في تعاملها الكسور الاعتيادية في الأعداد الحقيقية. لفهم تبسيطها وضربها وقسمتها، تعامل مع المتغيرات وكأنها أعداد؛ فإذا كان لديك كسر مثل $\frac{8}{12}$ فإنك تقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو 4 ليصبح $\frac{2}{3}$. بنفس الطريقة تماماً، نبسط العبارات النسبية بتحليل البسط والمقام إلى عوامل ومسح المشترك.

الشرح

لتبسيط أي عبارة نسبية، ابدأ أولاً بتحليل كل من البسط والمقام إلى عواملهما الأولية باستخدام طرق تحليل كثيرات الحدود مثل إخراج العامل المشترك الأكبر أو الفرق بين مربعين أو التحليل بالتجربة. ثم ابحث عن العوامل المتطابقة في البسط والمقام لاختصارها، مع الانتباه إلى أن العبارة تصبح غير معرفة عند أي قيمة لـ x تجعل المقام مساوياً للصفر. أما في عملية ضرب عبارتين نسبيتين $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ حيث $b \neq 0$ و $d \neq 0$ فنضرب البسط في البسط والمقام في المقام ليصبح الناتج $\frac{ac}{bd}$. وفي عملية القسمة $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ حيث $c \neq 0$ أيضاً، فإننا نضرب الكسر الأول (المقسوم) في مقلوب الكسر الثاني (المقسوم عليه) ليصبح الناتج $\frac{ad}{bc}$. وعند التعامل مع الكسور المركبة التي يحوي بسطها أو مقامها كسوراً، نحولها أولاً إلى عملية قسمة اعتيادية ثم نطبق قاعدة الضرب في المقلوب.

مثال محلول خطوة بخطوة

بسّط العبارة الآتية: $\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 16x + 64} \div \frac{x - 8}{x^2 + 5x + 6}$ الخطوة الأولى: حول عملية القسمة إلى ضرب بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه: $\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 16x + 64} \cdot \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 8}$ الخطوة الثانية: حلل كل كسبير إلى عوامله في البسط والمقام: البسط الأول: $(x - 8)(x + 2)$ المقام الأول: $(x - 8)(x - 8)$ البسط الثاني: $(x + 3)(x + 2)$ المقام الثاني: $(x - 8)$ الخطوة الثالثة: اكتب العبارة بالشكل المحلل واختصر العوامل المشتركة المتطابقة بين البسط والمقام: $\frac{(x - 8)(x + 2)}{(x - 8)(x - 8)} \cdot \frac{(x + 3)(x + 2)}{x - 8}$ بعد الاختصار المتبادل للعوامل المشتركة، يتبقى في البسط $(x + 2)(x + 2)(x + 3)$ وفي المقام $(x - 8)(x - 8)$، أو يمكن الاختصار تدريجياً كما ورد في الأمثلة بحسب العوامل المشتركة المتاحة.

أخطاء شائعة

اختصار حدود غير مشتركة مثل اختصار x من مجموع حدين مثل $\frac{x + 2}{x}$ وهذا خطأ لأن الاختصار مخصص فقط للعوامل المضروبة وليست المجموعات. الخطأ الثاني هو نسيان تحديد القيم التي تجعل المقام صفراً قبل الاختصار النهائي. الخطأ الثالث هو عدم إيجاد مقلوب الكسر الثاني بالكامل عند قسمة العبارات النسبية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بسّط العبارة النسبية الآتية: $\frac{4y(y - 3)(y + 4)}{y(y^2 - y - 6)}$ الإجابة: $\frac{4(y + 4)}{y + 2}$ السؤال الثاني: ما قيم x التي تجعل العبارة $\frac{x^2(x^2 - 5x - 14)}{4x(x^2 + 6x + 8)}$ غير معرفة؟ الإجابة: القيم التي تجعل المقام صفراً هي $x = 0$ و $x = -2$ و $x = -4$