الجذر النوني

يقوم مفهوم الجذر النوني على إيجاد العملية العكسية لرفع عدد لقوة معينة، تماما كما يعد الجذر التربيعي عملية عكسية للتربيع. فإذا كان لدينا عدد حقيقي b وعدد صحيح n أكبر من 1، بحيث تحقق المعادلة $a^n = b$، فإن a هو الجذر النوني للعدد b. يتكون رمز الجذر النوني $\sqrt[n]{b}$ من دليل الجذر n الذي يحدد نوعه، وما تحت الجذر b، والجذر الرئيس عندما يكون هناك أكثر من جذر حقيقي. على سبيل المثال، بما أن $3^4 = 81$ وصحيح أن $(-3)^4 = 81$ أيضا، فإن الجذر الرئيسي الرابع للعدد 81 هو 3. نتعلم في هذا الدرس كيفية تبسيط العبارات الجذرية باستخدام القيمة المطلقة متى ما كان دليل الجذر زوجيا وأس الناتج فرديا، بالإضافة إلى تقريب الجذور غير النسبية باستخدام الآلة الحاسبة لحل مسائل من واقع الحياة.

الفكرة الأساسية

الفكرة هنا هي عكس عملية الأسس. إذا كانت القوة تضرب العدد في نفسه عدة مرات، فإن الجذر النوني يبحث عن ذلك العدد الأصلي الذي إذا رفعته لتلك القوة أعطاك الناتج المطلوب.

الشرح

انظر إلى الرمز $\sqrt[n]{b}$. هذا يسمى الجذر النوني للعدد b. الرقم الصغير n الموجود في زاوية رمز الجذر يسمى الدليل، والرقم الموجود تحت الجذر b يسمى ما تحت الجذر. عندما نقول إن $a^n = b$ لأي عددين حقيقيين a و b وعدد صحيح $n > 1$، فإننا نعني أن a هو جذر نوني للعدد b.

لاحظ قاعدة الإشارات المهمة جدا بناء على الدليل n:

• إذا كان الدليل n زوجيا و b موجبا، فلدينا جذران حقيقيان: موجب وسالب، والجذر الموجب هو الجذر الرئيس ونرمز له بـ $\sqrt[n]{b}$.
• إذا كان الدليل n زوجيا و b سالبا، فلا توجد جذور حقيقية.
• إذا كان الدليل n فرديا و b موجبا أو سالبا، فهناك جذر حقيقي واحد فقط ولله نفس إشارة b.

عند تبسيط العبارات التي تحتوي على متغيّرات، إذا كان دليل الجذر زوجيا وأس ما تحت الجذر زوجيا ونتج عن التبسيط أس فردي، فيجب عليك وضع الناتج داخل القيمة المطلقة لضمان أن النتيجة ليست سالبة، مثل $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ عندما يكون n زوجيا.

مثال محلول خطوة بخطوة

بسط العبارة التالية: $\sqrt[5]{243a^{20}b^{25}}$ الخطوة الأولى: حلل ما تحت الجذر إلى أسس مرفوعة للقوة الخامسة لتتناسب مع دليل الجذر n = 5. العدد 243 يمكن كتابته على صورة $3^5$. إذن تصبح العبارة: $\sqrt[5]{(3^4)^{5} \cdot a^{20} \cdot b^{25}}$ أو بطريقة أبسط اكتبها كقوة قوس واحدة مرفوعة للأس 5: $\sqrt[5]{(3a^{4}b^{5})^5}$. الخطوة الثانية: بما أن الدليل 5 فردي، فإن الجذر يلغي الأس الخامس مباشرة دون الحاجة لقيمة مطلقة. الناتج النهائي هو: $3a^{4}b^{5}$.

أخطاء شائعة

• نسيان وضع رمز القيمة المطلقة عند إخراج متغير بأس فردي ناتج من جذر دليلُه زوجي، مثل كتابة $\sqrt{y^4} = y$ والصواب هو $|y|$.
• الخلط بين الدليل وما تحت الجذر، أو اعتبار أن الجذر الزوجي للعدد السالب له قيمة حقيقية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بسط العبارة الآتية: $\sqrt{36y^6}$ الإجابة: بما أن دليل الجذر زوجي (2) وأس الناتج 3 فردي، يجب استعمال القيمة المطلقة، والناتج هو: $6|y^3|$.

السؤال الثاني: بسط العبارة الآتية: $\sqrt[3]{-125}$ الإجابة: بما أن الدليل فردي (3)، فلا حاجة للقيمة المطلقة، والبحث يكون عن عدد مكعبه يساوي -125، وهو -5.