دوال ومتباينات الجذر التربيعي

يقوم هذا الدرس على دراسة دوال ومتباينات الجذر التربيعي وكيفية إيجاد المجال والمدى لها وتمثيلها بيانياً. الفكرة الأساسية هي أن ما تحت الجذر التربيعي لا يمكن أن يكون سالباً في مجموعة الأعداد الحقيقية، مما يفرض قيداً على قيم المتغير س يحدد بداية منحنى الدالة واتجاهه. لتحديد مجال الدالة f(x) = sqrt(x + 4) مثلاً، نجعل ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر، أي x + 4 >= 0، فنحصل على x >= -4، ويكون المدى هو قيم y الناتجة ابتداءً من الصفر.

الفكرة الأساسية

دالة الجذر التربيعي هي دالة تحتوي على جذر تربيعي لمتغير. الفكرة الجوهرية هنا أن الكمية التي تحت الجذر لا يمكن أن تكون سالبة، لأن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس حقيقياً. هذا القيد يحدد بوضوح النقطة التي يبدأ منها المنحنى بيانيا، وهي ما نسميه القيمة الصغرى أو نقطة البداية.

الشرح

نبدأ بالدالة الرئيسة (الأم): $f(x) = \sqrt{x}$. مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي الصفر، وتكتب صفة مميزة للمجموعة هكذا: $\{x \mid x \ge 0\}$. ومداها هو $\{f(x) \mid f(x) \ge 0\}$. عندما نضيف أعداداً أو نضرب في معاملات، فإن المنحنى يتزحزح يميناً أو يساراً أو لأعلى ولأسفل أو ينعكس. لتحديد مجال أي دالة جذرية، خذ العبارة التي تحت الجذر واجعلها أكبر من أو تساوي صفر، ثم حل المتباينة الناتجة. أما المدى فيُحدد من موقع نقطة البداية واتجاه فتحة المنحنى.

مثال محلول خطوة بخطوة

عين المجال والمدى للدالة: $f(x) = \sqrt{x + 4}$ الخطوة الأولى: اكتب متباينة تحديد المجال بجعل ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر: $x + 4 \ge 0$. الخطوة الثانية: حل المتباينة بطرح 4 من الطرفين: $x \ge -4$. الخطوة الثالثة: اكتب المجال مستخدماً الصفة المميزة للمجموعة: $\{x \mid x \ge -4\}$. الخطوة الرابعة: لتحديد المدى، انظر إلى قيمة الدالة عندما يكون $x = -4$، إذن $f(-4) = \sqrt{-4 + 4} = 0$. وبما أن قيم الجذر دائماً أكبر من أو تساوي صفر، فالمدى هو $\{f(x) \mid f(x) \ge 0\}$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع المساواة بصفر فقط دون عمل متباينة أكبر من أو يساوي، أو نسيان أن الضرب في عدد سالب خارج الجذر يعكس اتجاه المدى كما في الدوال السالبة، أو الخلط بين إشارة الإزاحة الأفقية داخل الجذر والإزاحة الرأسية خارجه.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: عيّن مجال الدالة $f(x) = \sqrt{x - 5}$ ومداها. الإجابة: المجال هو $\{x \mid x \ge 5\}$ والمدى هو $\{f(x) \mid f(x) \ge 0\}$. السؤال الثاني: مثل بيانيا متباينة الجذر التربيعي $y > \sqrt{x} - 4$. الإجابة: نرسم حد المتباينة وهو منحنى متقطع لـ $y = \sqrt{x} - 4$ لأن إشارة التباين أكبر من دون مساواة، ثم نضلل المنطقة التي تقع فوق المنحنى لأن الرمز يشير إلى أن $y$ أكبر من قيمة الجذر.