العلاقات والدوال العكسية

تقوم الفكرة الأساسية للعلاقات والدوال العكسية على عكس الأدوار بين مدخلات العلاقة ومخرجاتها. فإذا كانت العلاقة الأصلية تربط كل عنصر $x$ بعنصر $y$ عن طريق الزوج المرتب $(a, b)$، فإن العلاقة العكسية تعكس هذا الزوج ليصبح $(b, a)$، بحيث يصبح مجال العلاقة الأصلية هو مدى العلاقة العكسية والعكس صحيح. أما الدالة العكسية لدالة ما، ويرمز لها بالرمز $f^{-1}(x)$، فهي الدالة التي تلغي تأثير الدالة الأصلية بحيث يعود المتغير إلى قيمته الأصلية عند تركيبهما. لإيجاد دالة عكسية جبرياً، نكتب الدالة بدلالة $y$ و $x$ ثم نبدل بين المتغيرين ونحل المعادلة من جديد بالنسبة للمتغير $y$. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة هي $f(x) = x - 4$ فإن دالتها العكسية هي $f^{-1}(x) = x + 4$. بيانيا، تمثل الدالة العكسية انعكاساً للدالة الأصلية حول المستقيم $y = x$. ويمكن التحقق من أن دالتين متعاكستان جبرياً بالتأكد من أن تركيبهما ينتج دالة المحايدة أي أن [f igodot g](x) = x.

الفكرة الأساسية

تقوم الفكرة على تبديل الأدوار بين المدخلات والمخرجات في العلاقات والدوال. لو كانت لديك دالة تأخذ قيمة وتجري عليها عمليات لتخرج لك نتيجة، فالصيغة العكسية تعمل في الاتجاه المعاكس لتأخذ تلك النتيجة وتعيدها إلى قيمتها الأولى. هندسياً، يعبر هذا عن انعكاس منحنى الدالة حول المستقيم $y = x$.

الشرح

لكي نفهم العلاقة العكسية للأزواج المرتبة، تذكر أن كل زوج $(a, b)$ في العلاقة الأصلية ينعكس في العلاقة العكسية ليصبح $(b, a)$. هذا يعني أن مسقط السيني يصبح صادي والعكس صحيح. أما في الدوال، فنرمز للدالة العكسية بالرمز $f^{-1}(x)$. لإيجاد هذه الدالة جبرياً لـ $f(x)$، نتبع خطوات محددة: أولاً نكتب الدالة باستعمال المتغيرين $y$ و $x$ هكذا $y = f(x)$. ثانياً نبدل مواقع المتغيرين فنضع $x$ مكان $y$ و $y$ مكان $x$. ثالثاً نحل المعادلة الناتجة لنعزل $y$ في طرف بمفردها. رابعاً نستبدل $y$ بالرمز $f^{-1}(x)$. للتاكد من أن دالتين هما عكس للأخرى، نستخدم تركيب الدوال بحيث نحسب [f igodot g](x) و [g igodot f](x) ويجب أن يكون الناتج في الحالتين مساوياً لـ $x$. كما نستخدم اختبار الخط الأفقي لنعرف إذا كان معكوس الدالة يمثل دالة أم لا.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد معكوس الدالة $f(x) = 2x - 5$. الخطوة الأولى: أعد كتابة الدالة كمعادلة بدلالة المتغيرين $y$ و $x$. $y = 2x - 5$ الخطوة الثانية: بدّل بين كل من المتغير $x$ والمتغير $y$ في المعادلة. $x = 2y - 5$ الخطوة الثالثة: حل المعادلة بالنسبة للمتغير $y$. $x + 5 = 2y$ (بإضافة $5$ للطرفين) rac{x + 5}{2} = y (بالقسمة على $2$) الخطوة الرابعة: ضع $f^{-1}(x)$ بدلاً من المتغير $y$. f^{-1}(x) = rac{x + 5}{2}

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع الاعتقاد بأن الأس السالب في الرمز $f^{-1}(x)$ يعني مقلوب العدد أو القيمة الأسية، بينما هو هنا رمز اصطلاحي يعبر عن الدالة العكسية فقط. ومن الأخطاء أيضاً نسيان قيود المجال والمدى عند إيجاد الجذور التربيعية لمعكوس دوال كثيرة الحدود.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أجد العلاقة العكسية للازواج المرتبة التالية: $(1, -5), (2, 6), (3, -7), (4, 8), (5, -9)$ الإجابة الأولى: $(-5, 1), (6, 2), (-7, 3), (8, 4), (-9, 5)$ السؤال الثاني: أوجد معكوس الدالة $f(x) = x + 2$ الإجابة الثانية: $f^{-1}(x) = x - 2$