العمليات على الدوال

يقوم هذا الدرس على فكرة إجراء العمليات الحسابية الأساسية على الدوال مثل جمع دالتين أو طرحهما أو ضربهما أو قسمتهما، إضافة إلى فكرة جديدة كليا وهي تركيب دالتين. في العمليات الأربع تجمع الحدود المتشابهة أو تطرحها أو تضربها أو تقسمها تماما كما تفعل مع كثيرات الحدود، مع الانتباه لمجال الدالة الناتجة وخاصة في القسمة حيث يستثنى ما يجعل المقام صفرا. أما في تركيب دالتين فيرمز له بالرمز $(f ext{ extdegree } g)(x)$ والذي يعني $f[g(x)]$، وفكرته أن تأخذ قيمة المدخلة وتعوضها في الدالة الداخلية $g$ أولا، ثم تأخذ ناتجها وتعوضه كمدخلة في الدالة الخارجية $f$. مثال سريع: إذا كانت $f(x) = 2x$ و $g(x) = x + 5$ فإن مجموعهما هو $(f + g)(x) = 2x + x + 5 = 3x + 5$.

الفكرة الأساسية

تماما كما تجري العمليات الحسابية على الأعداد أو على كثيرات الحدود من جمع وطرح وضرب وقسمة، يمكنك فعل الشيء نفسه على الدوال. لو كانت لديك دالة تمثل الدخل السنوي للزوج ودالة تمثل الدخل السنوي للزوجة، فإنه يمكنك جمع الدالتين للحصول على إجمالي الدخل السنوي لتلك العائلة وهو $(f + g)(x)$. إضافة إلى ذلك، يعلمك الدرس عملية خاصة بالدوال وحدها وهي تركيب دالتين، حيث تستخدم قيم دالة ما لحساب قيم الدالة الأخرى.

الشرح

انظر إلى جدول العمليات الأساسية على الدوال. لجمع دالتين فإن القاعدة هي $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$، ومعناها أن تجمع قاعدة الدالة الأولى إلى قاعدة الدالة الثانية. لطرح دالتين فالقاعدة هي $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$، وهنا احذر من توزيع إشارة السالب على جميع حدود الدالة الثانية. لضرب دالتين فالقاعدة هي (f ullet g)(x) = f(x) ullet g(x)، وهنا تضرب قواعد الدوال ببعضها وتستخدم خاصية التوزيع. لقسمة دالتين فالقاعدة هي (rac{f}{g})(x) = rac{f(x)}{g(x)} بشرط أن الدالة في المقام $g(x) eq 0$.

أما عن تركيب دالتين، فيرمز له بالرمز $(f ext{ extdegree } g)(x)$ أو $[f ext{ extdegree } g](x)$ وتقرأ $f$ بعد $g$. تعريفه اللفظي هو أن تأخذ قيم دالة وتستعملها كقيم من مجال الدالة الأخرى. لكي تفهم الرمز جيدا، تذكر أن $[f ext{ extdegree } g](x) = f[g(x)]$. ابدأ بالدالة القريبة من المتغير وهي الدالة الداخلية $g(x)$، أوجد قيمتها أولا، ثم خذ الناتج وعوض به في الدالة الخارجية $f$. انتبه جيدا ولا تخلط بين عملية تركيب دالتين $[f ext{ extdegree } g](x)$ وعملية ضرب دالتين (f ullet g)(x). وفي الغالب تكون عملية التركيب غير ابدالية، أي أن $(f ext{ extdegree } g)(x) eq (g ext{ extdegree } f)(x)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنأخذ الدالتين $f(x) = x^2 - 4$ و $g(x) = 2x + 1$، ونريد إيجاد مجموع الدالتين وطرحهما.

أولا، لإيجاد $(f + g)(x)$: اكتب القانون: جمع دالتين $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ عوض بقواعد الدوال: $= (x^2 - 4) + (2x + 1)$ بسط بتجميع الحدود المتشابهة: $= x^2 + 2x - 3$

ثانيا، لإيجاد $(f - g)(x)$: اكتب القانون: طرح دالتين $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$ عوض بقواعد الدوال مع وضع الدالة الثانية بين قوسين: $= (x^2 - 4) - (2x + 1)$ وزع السالب على القوس الثاني: $= x^2 - 4 - 2x - 1$ بسط النتيجة: $= x^2 - 2x - 5$

أخطاء شائعة

• الخطأ الأول: نسيان وضع الأقواس عند طرح دالتين مما يؤدي إلى عدم توزيع إشارة السالب بشكل صحيح على جميع حدود الدالة الثانية.
• الخطأ الثاني: الخلط بين ضرب دالتين (f ullet g)(x) وبين تركيب دالتين $[f ext{ extdegree } g](x)$، حيث يضرب الطالب القواعد في التركيب بدلا من التعويض بدالة داخل الأخرى.
• الخطأ الثالث: إغفال تحديد مجال دالة القسمة أو تركيب الدوال، وعدم استثناء القيم التي تجعل المقام يساوي صفرا.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت $f(x) = x^2 + 5x - 2$ و $g(x) = 3x - 2$، فأوجد $(f + g)(x)$. الإجابة: $(f + g)(x) = (x^2 + 5x - 2) + (3x - 2) = x^2 + 8x - 4$.

السؤال الثاني: إذا كانت $f(x) = 2x - 5$ و $g(x) = 4x$، فأوجد $[f ext{ extdegree } g](x)$. الإجابة: $[f ext{ extdegree } g](x) = f[g(x)] = f(4x) = 2(4x) - 5 = 8x - 5$.