الجذور والأصفار (٢)

يقوم درس الجذور والأصفار على تحديد عدد وأنواع الأصفار الممكنة لدالة كثيرات الحدود باستخدام قاعدة إشارات ديكارت. تعتمد الفكرة على عدّ مرات تغير إشارة المعاملات في الدالة الأصلية $f(x)$ لمعرفة عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، وفي الدالة $f(-x)$ لمعرفة عدد الأصفار الحقيقية السالبة، بينما يُمثل الباقي أصفاراً تخيلية. انظر إلى الدالة $f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 26x - 48$: تتغير إشارة $f(x)$ مرة واحدة، إذن يوجد صفر حقيقي موجب واحد. وتتغير إشارة $f(-x)$ ثلاث مرات، إذن يوجد ثلاثة أصفار حقيقية سالبة، وليس للدالة أصفار تخيلية.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة على معرفة عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لدالة كثيرات الحدود دون الحاجة لحلها بالكامل، وذلك بالاعتماد على ترتيب المعاملات وتغير إشاراتها في الدالة الأصلية ودالة المتغير السالب.

الشرح

انظر إلى طريقة تحديد الأصفار الممكنة لكل دالة: ١. الأصفار الحقيقية الموجبة: عدّ عدد مرات تغيّر إشارة المعاملات في دالة كثيرات الحدود $f(x)$ من الموجب إلى السالب أو العكس. عدد الأصفار الموجبة يساوي هذا العدد أو يقل عنه زوجياً. ٢. الأصفار الحقيقية السالبة: أوجد أولاً دالة المتغير السالب بوضع كل $x$ مكانها $(-x)$ أي $f(-x)$، ثم عدّ مرات تغيّر الإشارة. عدد الأصفار السالبة يساوي عدد مرات التغير أو يقل عنه زوجياً. ٣. الأصفار التخيلية: مجموع الأصفار الحقيقية والتخيلية يساوي دائماً درجة كثير الحدود.

مثال محلول خطوة بخطوة

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية للدالة: $f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 26x - 48$ الخطوة الأولى: ادرس إشارات معاملات $f(x)$ وهي بالترتيب: موجب، موجب، سالب، سالب، سالب. انظر لتغير الإشارة، تجد أنها تتغير مرة واحدة بين الحد الثاني والثالث ($2x^3$ و$-2x^2$). إذن يوجد صفر حقيقي موجب واحد تماماً. الخطوة الثانية: أوجد $f(-x)$ بتعويض كل $x$ بـ $(-x)$: $f(-x) = 3(-x)^4 + 2(-x)^3 - 2(-x)^2 - 26(-x) - 48$ وهو يساوي: $f(-x) = 3x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 26x - 48$ الخطوة الثالثة: ادرس إشارات معاملات $f(-x)$ وهي: موجب، سالب، سالب، موجب، سالب. عدّ تغيرات الإشارة فتجدها تتغير ثلاث مرات. إذن يوجد ثلاثة أصفار حقيقية سالبة، أو يقل عنها زوجياً فيكون هناك صفر حقيقي سالب واحد. الخطوة الرابعة: بما أن أكبر أسي للدالة هو $4$، فهذا يعني أن مجموع الأصفار هو $4$. إذا كان لدينا صفر موجب و٣ أصفار سالبة، فلا توجد أصفار تخيلية.

أخطاء شائعة

• نسيان تعويض المتغير السالب بـ $(-x)$ داخل الأقواس ومعرفة تأثير الأسس الزوجية والفردية عليها.
• الاعتقاد بأن عدد مرات تغير الإشارة يعطي العدد القطعي للأصفار وليس عددها الممكن (الذي يمكن أن يقل بمقدار عدد زوجي).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية للدالة $f(x) = -2x^3 + 11x^2 - 3x + 2$. الإجابة: الأصفار الحقيقية الموجبة: $3$ أو $1$. الأصفار الحقيقية السالبة: صفر. الأصفار التخيلية: $0$ أو $2$. السؤال الثاني: اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية للدالة $f(x) = x^6 - 5x^3 + x^2 + x - 6$. الإجابة: الأصفار الحقيقية الموجبة: $2$ أو $0$. الأصفار الحقيقية السالبة: $2$ أو $0$. الأصفار التخيلية: $6$ أو $4$ أو $2$.