الجذور والأصفار (١)

الدرس ٢١ من ٣١الرياضيات ٢صفحات ١٦٠–١٦٨

صفحة ١٦٠

صفحة ١ من ٩

صفحة ١٦٠

انظر إلى رأس الصفحة: العنوان هو الجذور والأصفار. في بند لماذا، لدينا دالة تكلفة إنتاج تمثلها كثيرة حدود من الدرجة الرابعة، ولمعرفة متى يبلغ تكلفد إنتاج قطعية واحدة قيمة معينة، نلجأ إلى حل معادلات كثيرة الحدود المرتبطة بها. الأصفار الحقيقية للدالة هي قيم x التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفراً، وهي تماماً مقاطع المحور x في التمثيل البياني. تأمل ملخص المفهوم، فإذا كانت $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ كثيرة حدود، فإن قولنا إن c صفر للدالة $P(x)$ يكافئ أن c جذر للمعادلة $P(x) = 0$ ، ويكافئ أن $(x - c)$ عامل من عوامل كثيرة الحدود، وأن c عدد حقيقي يجعل التمثيل البياني يقطع المحور x عند النقطة $(c, 0)$ . انظر إلى المثال المكتوب في المنتصف، لكثيرة الحدود $P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12$ ، أصفارها هي القيم $-3, -2, 1, 2$ وعواملها هي $(x+3), (x+2), (x-1), (x-2)$ ، وتقاطعها مع المحور x يقع عند نقاط مثل $(-3, 0)$ وغيرها. وفي الأسفل، تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من الصفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

صفحة ١٦١

انظر إلى المثال الأول، المطلوب حل كل معادلة وذكر عدد جذورها ونوعها. في الفرع a، المعادلة هي $x^2 + 6x + 9 = 0$ . بالتحليل إلى العوامل تصبح $(x + 3)^2 = 0$ ، ومنه $x = -3$ . بما أن العامل تكرر مرتين، فلدينا جذر حقيقي واحد مكرر مرتين، وهذا يفسر لمس التمثيل البياني للمحور x عند $x = -3$ . انتقل للفرع b، المعادلة هي $x^3 + 25x = 0$ . بإخراج العامل المشترك x يصبح لدينا $x(x^2 + 25) = 0$ . إما $x = 0$ أو $x^2 = -25$ . بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، تنتج قيمتان تخليليتان هما $(-3, 0)$ . إذن للمعادلة ثلاثة جذور: جذر حقيقي وهو الصفر، وجذران تخليليان هما $-5i$ و $5i$ . في أسفل الصفحة، تجد نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على أن لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n بالضبط n جذراً فقط من الأعداد المركبة مع احتساب الجذور المكررة، وبالمثل لها نفس العدد من الأصفار المركبة.

صفحة ١٦٢

تأمل ملخص مفهوم قانون ديكارت للإشارات. لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة لكثيرة الحدود $P(x)$ ، احسب عدد مرات تغير إشارة معاملات الحدود، والناتج إما يساوي ذلك العدد أو أقل منه بعدد زوجي. أما عدد الأصفار الحقيقية السالبة فيُحسب من خلال تغير إشارات معاملات $P(-x)$ . انظر إلى المثال الثاني لتطبيق ذلك على الدالة $f(x) = x^6 + 3x^5 - 4x^4 - 6x^3 + x^2 - 8x + 5$ . بحساب تغير إشارات المعاملات للحدود من اليسار إلى اليمين، نجد 4 تغيرات، إذن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة هو 4 أو 2 أو 0. ولإيجاد السالبة، نعوض بـ $-x$ في كل المتغيرات لنحصل على $f(-x)$ ، وبحساب تغير إشارات المعاملات نجد تغيرين، إذن عدد الأصفار الحقيقية السالبة هو 2 أو 0. الجدول أدناه يجمع الاحتمالات الممكنة للأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة والتخيلية ليغطي مجموع الدرجة التي تساوي 6.

صفحة ١٦٣

انظر إلى مفهوم نظرية الأصفار المركبة المرافقة. إذا كان a و b عددين حقيقيين، وكان $a + bi$ صفراً لدالة كثيرة حدود معاملات حدودها أعداد حقيقية، فإن المرافق $a - bi$ هو صفراً للدالة أيضاً. تأمل المثال الثالث حيث يُطلب كتابة دالة كثيرة حدود بأقل درجة ممكنة ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا علمنا أن أصفارها هي i و $-5$ و $1-$ . بما أن i صفراً للدالة، فإن المرافق $-i$ يجب أن يكون صفراً أيضاً بحسب النظرية، وكذلك المرافق للـ 5 إن وجد، وهنا لدينا الأصفار هي $i$ و $-i$ و $5$ و $-1$ . اكتب المعادلة على صورة حاصل ضرب عواملها: $P(x) = (x+1)[x - (5 - i)][x - (5 + i)]$ ، ثم قم بتبسيط العبارة بفك الأقواس وضربها لتصل إلى كثيرة الحدود المطلوبة ذات المعاملات الصحيحة.

صفحة ١٦٤

هذه الصفحة مخصصة لتمارين تأكد وتدرب وحل المسائل. في التمارين من 1 إلى 4، المطلوب حل كل معادلة وذكر عدد جذورها ونوعها، واستعمل التحليل أو القانون العام بحسب الحاجة. في التمارين من 5 إلى 8، طُلب ذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل دالة باستخدام قانون ديكارت للإشارات الذي درسته في الصفحة السابقة من خلال تتبع تغير إشارات المعاملات لـ $f(x)$ و $f(-x)$ . في التمارين من 9 إلى 12، عليك كتابة دالة كثيرة الحدود بأقل درجة ممكنة ومعاملات حدودها أعداد صحيحة بناءً على الأصفار المعطاة، مستفيداً من نظرية الأصفار المركبة المرافقة التي تضمن وجود مرافق لكل عدد مركب أو تخليلي يظهر كصفر للدالة. بقية التمارين في قسم تدرب وحل المسائل تطبق نفس الأفكار على معادلات بدرجات أعلى.

صفحة ١٦٥

تابع حل تمارين كتابة كثيرة الحدود من الأصفار المعطاة في التمارين من 27 إلى 32، حيث تتعامل مع أصفار حقيقية وتخيلية مركبة وتحولها إلى عوامل ثم تضربها لتكوين الدالة. في التمارين من a إلى c تحت السؤال المكتوب «اكتب بجانب التمثيل البياني للرمز الذي يمثل أصفارها في كل مما يأتي»، عليك مطابقة الأصفار المذكورة مع الرسوم البيانية أدناه بالاعتماد على نقاط تقاطع المنحنى مع المحور x وعدد مرات مسسه أو قطعه له. أما في التمارين من 36 إلى 37، فالمطلوب تحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، والحقيقية السالبة، والتخيلية لكل من الدالتين الممثلتين بيانيا مع توضيح الإجابة، حيث يدل عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع المحور x على عدد الأصفار الحقيقية، بينما يدل الفرق بين درجة الدالة وعدد أصفارها الحقيقية على الأصفار التخيلية.

صفحة ١٦٦

هذه الصفحة تحتوي على مسائل مهارات التفكير العليا وتدريب على الاختبار ومراجعة تراكمية. في السؤال 38، عليك تمثيل دالة بيانيا بحسب شروط محددة للأصفار الحقيقية والتخيلية. في السؤال 39، اكتب معادلة على صورة حاصل ضرب عوامل كثيرة حدود من الدرجة الخامسة بشروط معينة للأصفار. في السؤال 40، حدد المعادلة المختلفة عن الأخريات مع توضيح السبب. في السؤال 41، اكتب مثالاً مضاداً للعبارات المعطاة حول درجات دوال كثيرة الحدود وعدد أصفارها الحقيقية. في السؤال 42، اشرح لزميلك كيف تستعمل قانون ديكارت للإشارات لتحديد عدد الأصفار للدالة المذكورة. في قسم تدريب على الاختبار، السؤال 43 يطلب استعمل التمثيل البياني لتحديد أي مما يأتي لا يعد عاملاً لكثيرة الحدود المعطاة. وفي قسم المراجعة التراكمية، أوجد قيمة دالة مستعملاً التعويض التركيبي، وحل كل كثيرة حدود إن أمكن تحليلاً تاماً.

صفحة ١٦٧

هذه الصفحة تمثل دليل الدراسة والمراجعة للفصل الثالث. في أعلى الصفحة، تجد ملخص الفصل الذي يعرض أهم المفاهيم والمفردات الأساسية التي تمت دراستها في جميع دروس الفصل، بدءاً من الأعداد المركبة وصولاً إلى الجذور والأصفار والنظرية الأساسية في الجبر، مع ذكر أرقام الصفحات بجانب كل مفردة لسهولة الرجوع إليها. في قسم «اختبر مفرداتك»، يوجد تدريب يقيس مدى استيعابك للمفاهيم عبر الحكم على صحة العبارات الآتية، وإذا كانت خاطئة تستبدل الكلمة التي تحتها خط لتصبح العبارة صحيحة. العبارات تغطي مفاهيم مثل وحدة التخلّي i، والقانون العام لحل المعادلات التربيعية، ونظريتي الباقي والعوامل، وخصائص الدوال كثيرة الحدود، وتوصيف الجذور والأصفار وحالاتها المختلفة. في أسفل الصفحة، تجد إشارة إلى المطويات وكيفية الاستفادة منها كمنظم أفكار لتلخيص المفاهيم الأساسية للفصل.

صفحة ١٦٨

هذه الصفحة مخصصة لمراجعة الدروس من الفصل الثالث مع أمثلة محلولة. في قسم الدروس 1-3 الخاص بالأعداد المركبة، تجد أمثلة على تبسيط الجذور السالبة مثل $\sqrt{-8}$ وإجراء العمليات عليها كالجمع والطرح، بالإضافة إلى حل معادلات تربيعية تنتج أعداداً تخيلية. في قسم الدروس 2-3 الخاص بالقانون العام والمميز، تجد خطوات إيجاد قيمة المميز وتحديد عدد وجذر المعادلات التربيعية واستعمال القانون العام $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ لحلها، مع تطبيق فيزيائي على حركة المقذوفات. وفي قسم الدروس 3-3 الخاص بالعمليات على كثيرات الحدود، تجد أمثلة على تبسيط العبارات وضرب وحيرات الحدود وجمعها وطرحها باستخدام خواص الأسس. راجع هذه الأمثلة وتأكد من فهم كل خطوة حل فيها قبل الانتقال لاختبار الفصل.

يربط درس الجذور والأصفار بين درجة كثيرة الحدود وعدد جذورها أو أصفارها بناء على النظرية الأساسية في الجبر التي تأكد أن لأي معادلة كثيرة حدود من الدرجة n جذرا واحدا على الأقل في مجموعة الاعداد المركبة. يوضح الدرس أيضا كيفية تحديد أنواع الجذور من حقيقية موجبة وسالبة أو تخيلية باستعمال قانون ديكارت للإشارات، وكيفية استخدام الأصفار المركبة المرافقة لكتابة دالة كثيرة حدود بأقل درجة ممكنة. فمثلا إذا كانت دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة، فإن عدد جذورها يساوي أربعة جذور تماما متضمنة الجذور المكررة والتخيلية.

الفكرة الأساسية

تقوم الفكرة على ربط درجة كثيرة الحدود بعدد حلولها أو أصفارها بدقة، فالنظرية الأساسية في الجبر تنص على أن كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الاعداد المركبة، وتحديداً يكون لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة $n$ عدد $n$ فقط من الجذور المركبة بما في ذلك الجذور المكررة.

الشرح

لكل كثيرة حدود أصفار حقيقية وأصفار تخيلية. لكي تتعرف على عدد الجذور وأنواعها تستعمل النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت للإشارات. إذا كانت دالة كثيرة الحدود $P(x)$ ذات معاملات حقيقية، فإن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة $P(x)$ أو أفل منه بعدد زوجي، بينما عدد الأصفار الحقيقية السالبة يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة $P(-x)$ أو أقل منه بعدد زوجي. أما الأصفار التخيلية فتأتي دائما في أزواج مترافقة، بمعنى أنه إذا كان العدد المركب $a + bi$ صفرا لدالة كثيرة حدود معاملاتها أعداد حقيقية، فإن مرافقـه $a - bi$ يكون صفرا للدالة أيضاً.

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب كتابة دالة كثيرة الحدود درحتها أقل ما يمكن، ومعاملات حدودها أعداد صحيحة، إذا كان الععداد $i$ و $-1$ و $-1.5$ من أصفارها. الخطوة الأولى: بما أن $i$ صِفر للدالة، فإن مرافقه $-i$ هو الآخر صِفر للدالة بحسب نظرية الأصفار المركبة المرافقة. الخطوة الثانية: نكتب عوامل كثيرة الحدود مستخدمين الأصفار المعطاة: $(x + 1)$ و $(x - (-1.5))$ و $(x - i)$ و $(x + i)$ . الخطوة الثالثة: نضرب العوامل بعضها في بعض لنحصل على دالة كثيرة الحدود: $P(x) = (x + 1)(x + 1.5)(x - i)(x + i)$ نضرب العوامل المركبة المترافقة أولاً: $P(x) = (x + 1)(x + 1.5)(x^2 - i^2)$ بما أن $i^2 = -1$ تصبح العبارة: $P(x) = (x + 1)(x + 1.5)(x^2 + 1)$ ثم نضرب الأقواس ببعضها ونبسط الناتج لنحصل على كثيرة الحدود المطلوبة.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن عدد تغيرات إشارة معاملات الدالة يعطي العدد الدقيق للأصفار الموجبة أو السالبة، والصحيح أنه يعطي العدد الممكن أو أقل منه بعدد زوجي.
إغفال كتابة الجذر المرافق عندما يكون أحد أصفار كثيرة الحدود عددا مركبا تخيليا.
الخلط بين درجة كثيرة الحدود وعدد أصفارها الحقيقية فقط، متناسيا الأصفار التخيلية والمكررة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $x^2 + 6x + 9 = 0$ واذكر عدد جذورها ونوعها. الإجابة: بتحليل العبارة إلى $(x + 3)^2 = 0$ إذن $x = -3$ . وبما أن العامل $(x + 3)$ مكرر مرتين، فإن للمعادلة جذرا حقيقيا واحدا مكررا مرتين.

السؤال الثاني: اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة والتخيلية للدالة $f(x) = x^6 + 3x^5 - 4x^4 - 6x^3 + x^2 - 8x + 5$ . الإجابة: الأصفار الحقيقية الموجبة تكون 4 أو 2 أو 0، والأصفار الحقيقية السالبة تكون 2 أو 0، وتستكمل بقية الأصفار لتساوي الدرجة 6 كأصفار تخيلية.