نظريتا الباقي والعوامل

تقوم نظرية الباقي على فكرة بسيطة: إذا قسمت كثيرة حدود $P(x)$ على ثنائية حد مثل $(x - r)$، فإن باقي القسمة يساوي تماماً قيمة الدالة عند العدد $r$، أي $P(r)$. يمكنك إيجاد هذا الباقي سريعاً ودون قسمة مطولة باستخدام التعويض التركيبي. أما نظرية العوامل فهي حالة خاصة منها؛ إذ تكون ثنائية الحد $(x - r)$ عاملاً من عوامل كثيرة الحدود $P(x)$ فقط إذا كان الباقي يساوي صفراً، أي $P(r) = 0$. مثال ذلك: لو كانت $P(x) = x^3 - 7x^2 + 7x + 15$ وأردت معرفة هل $(x - 5)$ عامل لها، فعليك حساب $P(5)$ بالتعويض التركيبي؛ فإذا كان الناتج صفراً، فهي عامل وتستطيع إكمال التحليل.

الفكرة الأساسية

لو طلب منك قسمة كثيرة حدود كبيرة على ثنائية حد، فلن تحتاج إلى إجراء القسمة الطويلة المعقدة دائماً. تنص نظرية الباقي على أنك تستطيع معرفة باقي القسمة مباشرة بحساب قيمة الدالة عند العدد الموجود في ثنائية الحد. وإذا كان هذا الباقي صفراً، فهذا يقودنا إلى نظرية العوامل التي تخبرنا أن ثنائية الحد هذه تعتبر جزءاً أساسياً من تحليل كثيرة الحدود.

الشرح

انظر إلى طريقة التعويض التركيبي؛ فهي اختصار لعملية القسمة الطويلة عندما نقسم على $(x - r)$. تأخذ معاملات كثيرة الحدود وترتبها أفقياً، وتكتب العدد $r$ في الجانب. تضرب وتجمع حتى تصل إلى الرقم الأخير الذي يمثل الباقي. حسب نظرية الباقي، هذا العدد الأخير هو نفسه $P(r)$. وإذا ظهر لك هذا الباقي صفراً، فهذا يعني حسب نظرية العوامل أن ثنائية الحد $(x - r)$ هي عامل من عوامل كثيرة الحدود $P(x)، وعندها يمكنك إكمال تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأخرى.

مثال محلول خطوة بخطوة

حدد ما إذا كان $(x - 5)$ عاملاً من عوامل كثيرة الحدود $P(x) = x^3 - 7x^2 + 7x + 15$ أم لا، ثم أوجد عواملها الأخرى. الخطوة ١: استعمال نظرية العوامل. لمعرفة هل $(x - 5)$ عامل، نجد قيمة $P(5)$ باستخدام التعويض التركيبي. نكتب المعاملات أفقياً: $1$ و$-7$ و$7$ و$15$. ونكتب $5$ في الزاوية. ننزل الـ $1$، نضربه في $5$ ليصبح $5$، نجمعها مع $-7$ فيكون الناتج $-2$. نضرب $-2$ في $5$ ليصبح $-10$، نجمعها مع $7$ فيكون الناتج $-3$. نضرب $-3$ في $5$ ليصبح $-15$، نجمعها مع $15$ فيكون الناتج $0$. بما أن الباقي يساوي صفراً، فإن $(x - 5)$ عامل لكثيرة الحدود. الخطوة ٢: تحليل كثيرة الحدود. ناتج القسمة يقل درجة واحدة عن الأصلية، فيكون $x^2 - 2x - 3$. نحلل الثلاثية الجديدة إلى $(x + 1)(x - 3)$. إذن عوامل كثيرة الحدود هي: $(x - 5)(x + 1)(x - 3)$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول هو نسيان وضع صفر مكان الحد المفقود عند ترتيب معاملات كثيرة الحدود قبل البدء بالتعويض التركيبي، مما يغير الناتج تماماً. الخطأ الثاني هو الخلط في إشارة العدد $r$؛ فعند القسمة على $(x - 3)$ يكون العدد المستخدم في التعويض هو $3$ وليس $-3$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعمل التعويض التركيبي لإيجاد قيمة $f(3)$ للدالة $f(x) = 3x^3 - 6x^2 - x + 11$. الإجابة: الباقي هو $14، إذن$f(3) = 14$. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان $(x - 2)$ عاملاً لكثيرة الحدود $x^3 - 7x^2 + 12x + 4$ أم لا. الإجابة: عند التعويض بالعدد $2$ يكون الباقي $0، إذن هو عامل.