حل معادلات كثيرات الحدود

يقوم هذا الدرس على فكرة توسيع طرق تحليل وحل المعادلات ذات الدرجات العليا لتصبح مشابهة للمعادلات التربيعية. نستخدم طرائق متعددة مثل إخراج العامل المشترك الأكبر، وتجميع الحدود، والفرق ومجموع المكعبين، وتحويل بعض كثيرات الحدود إلى الصورة التربيعية عبر فرض متغير جديد مثل $u = x^2$. على سبيل المثال، لحل المعادلة $x^3 - 1000 = 0$ ننقل الألف للطرف الأيمن ونحلل الطرفين كفرق بين مكعبين لتصبح $(x - 10)(x^2 + 10x + 100) = 0$، ومنها نحصل على الجذر الحقيقي $x = 10$ والجذور المركبة الأخرى.

الفكرة الأساسية

يعتمد الدرس على تحويل المعادلات ذات الدرجات العليا إلى صور أبسط يمكن حلها بتحليل العوامل، تماما مثل المعادلات التربيعية التي درستها سابقا. نستخدم قواعد تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما، وتجميع الحدود، وكتابة كثيرات الحدود على الصورة التربيعية.

الشرح

لحل كثيرة حدود ليست من الدرجة الثانية، نبحث أولا عن إمكانية إخراج العامل المشترك الأكبر. إذا كانت تكون من حدين، قد تكون مجموع مكعبين بقانون $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ أو فرقا بين مكعبين بقانون $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. وإذا كانت تتكون من أربعة حدود أو أكثر، نستخدم طريقة تجميع الحدود. كما يمكن كتابة بعض كثيرات الحدود من الدرجات الأربع أو الست على الصورة التربيعية $au^2 + bu + c = 0$ بفرض أن متغيرا جديدا مثل $u$ يساوي $x^2$، ثم نحلل المعادلة الناتجة باستعمال خاصية الضرب الصفري.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $18x^4 - 21x^2 + 3 = 0$. الخطوة الأولى: نكتب المعادلة بصورة تكافئ الصورة التربيعية باستخراج العوامل الثابتة، فتصبح $2(3x^2)^2 - 7(3x^2) + 3 = 0$. الخطوة الثانية: نفرض أن $u = 3x^2$ ونعوضه في المعادلة لتصبح بصورة تربيعية دقيقة: $2u^2 - 7u + 3 = 0$. الخطوة الثالثة: نحلل العبارة التربيعية إلى قوسين باستخدام التحليل: $(2u - 1)(u - 3) = 0$. الخطوة الرابعة: نطبق خاصية الضرب الصفري لنحصل على قيمتين للمتغير $u$: إما u = rac{1}{2} أو $u = 3$. الخطوة الخامسة: نعيد التعويض عن $u$ بقيمتها الأصلية $3x^2$. للحالة الأولى 3x^2 = rac{1}{2} نقسم على $3$ ونأخذ الجذر التربيعي لنحصل على x = rac{\sqrt{6}}{6} أو $-\frac{\sqrt{6}}{6}$. وللحالة الثانية $3x^2 = 3$ نقسم على $3$ ونأخذ الجذر لنحصل على $x = 1$ أو $x = -1$.

أخطاء شائعة

نسيان إخراج العامل المشترك الأكبر قبل البدء بعملية التحليل. الخلط بين إشارات قوانين مجموع المكعبين والفرق بينهما. التوقف عن التحليل قبل الوصول إلى أبسط صورة ممكنة لكثيرة الحدود.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$. الإجابة: نضع $u = x^2$ لتصبح $(u - 4)(u - 2) = 0$، ومنها $x = 2, -2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$. السؤال الثاني: حل كثيرة الحدود بتحليلها تاما: $8x^3 + 27y^3$. الإجابة: $(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$.