دوال كثيرات الحدود

دوال كثيرات الحدود هي تعبيرات جبرية تتكون من متغير واحد بأسر صحيحة غير سالبة، مثل $f(x) = a_n x^n + ext{...} + a_0$. يعتمد سلوكها التمثيلي على درجتها والمعامل الرئيس، حيث تحدد الدرجة ما إذا كان طرفا التمثيل في اتجاهين مختلفين او في الاتجاه نفسه، ويحدد المعامل الرئيس اتجاه الأطراف نحو الأعلى او الأسفل. كما يمثل صفر الدالة نقطة تقاطع التمثيل مع محور $x$. مثال: في الدالة $f(x) = 8x^5 - 4x^3 + 2x^2 - x - 3$، الدرجة هي 5 والمعامل الرئيس هو 8.

الفكرة الأساسية

دوال كثيرات الحدود هي عبارات جبرية بمتغير واحد تشكل نموذجاً رياضياً للعديد من الظواهر مثل حجم الهواء في الرئتين. تقوم الفكرة على دراسة شكل هذه الدوال من حيث الدرجة والمعامل الرئيس، وكيفية إيجاد قيمتها عند أعداد أو تعبيرات، وفهم سلوك طرفي تمثيلها البياني وأصفارها.

الشرح

كثيرة الحدود بمتغير واحد تكتب على الصورة العامة $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ext{...} + a_1 x + a_0$، حيث $n$ عدد صحيح غير سالب، والمعاملات أعداد حقيقية والمعامل الرئيس $$a_{n}$ eq 0$. درجة كثيرة الحدود هي أكبر أس للمتغير فيها. لإيجاد قيمة الدالة عند عدد أو تعبير جبري، يتم التعويض المباشر بكل قيمة مكان المتغير ثم تبسيط العبارة باستخدام خاصية التوزيع وجمع الحدود المتشابهة. أما سلوك طرفي التمثيل البياني فيعتمد على درجة الدالة وزوجيتها أو فرديتها، وعلى إشارة المعامل الرئيس موجباً أو سالباً. للدوال ذات الدرجة الفردية والمعامل الرئيس الموجب، يتحرك الطرف الأيسر إلى أسفل$f(x) o - imes$عندما$x o - imes$والأيمن إلى أعلى$f(x) o + imes$عندما$x o + imes$. وللدوال ذات الدرجة الزوجية والمعامل الرئيس الموجب، يتجه الطرفان إلى أعلى. أصفار الدالة هي نقاط تقاطع التمثيل البياني مع محور$x$، ويمثل عددها عدد الأصفار الحقيقية.

مثال محلول خطوة والثانية

إذا كانت $f(x) = x^2 + 2x - 3$، فأوجد قيمة $f(3c - 4)$. الخطوة الأولى: اكتب الدالة الأصلية: $f(x) = x^2 + 2x - 3$. الخطوة الثانية: عوض بـ $3c - 4$ بدلاً من كل $x$: $f(3c - 4) = (3c - 4)^2 + 2(3c - 4) - 3$. الخطوة الثالثة: فك القوس واضرب: $= 9c^2 - 24c + 16 + 6c - 8 - 3$. الخطوة الرابعة: بسط واجمع الحدود المتشابهة: $= 9c^2 - 18c + 5$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع اعتبار أي عبارة جبرية تحتوي على متغيرات كثيرة حدود، مثل وجود متغيرين مختلفين أو أسس سالبة أو كسورية في أسس المتغير. خطأ آخر يحدث عند التعويض بتعبير جبري مثل $(3c - 4)$ في التربيع، حيث ينسى الطالب فك المربع الكامل بالشكل الصحيح ويقوم بتربيع الحدين فقط.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكثيرة الحدود $8x^5 - 12x^6 + 14x^3 - 9$. الإجابة: رتب الحدود تصاعدياً أو تنازلياً أولاً لتصبح $-12x^6 + 8x^5 + 14x^3 - 9$؛ إذن الدرجة هي 6 والمعامل الرئيس هو $-12$. السؤال الثاني: إذا كانت $f(x) = x^2 - 2x + 3$، فأوجد قيمة $f(-2)$. الإجابة: عوض بالعدد $-2$ مكان $x$ لتصبح $(-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$.