قسمة كثيرات الحدود

يقوم درس قسمة كثيرات الحدود على تبسيط المقادير الجبرية عبر طريقتين أساسيتين: القسمة الطويلة وخوارزمية القسمة التركيبية. تعتمد الفكرة على قسمة حد جبري أو كثير حدود على حد آخر عبر مطابقة الأسس والمعاملات خطوة بخطوة حتى الوصول إلى الباقي. فمثلا عند قسمة كثير الحدود على ثنائية حد مثل $(x - 5)$ نستعمل خوارزمية القسمة الطويلة عبر قسمة الحد الأول على الحد الأول ثم ضرب الناتج وطرحه وتكرار العملية حتى ينتهي الحل أو يبقى باق أقل درجة من المقسوم عليه. كما تسهل القسمة التركيبية العمليات عندما يكون المقسوم عليه على صورة $x - r$ بحيث نكتب المعاملات ونقوم بالضرب والجمع المتتالي للوصول لناتج القسمة بسرعة.

الفكرة الأساسية

تعتمد قسمة كثيرات الحدود على إيجاد ناتج قسمة مقدار جبري كبير يسمى المقسوم على مقدار آخر يسمى المقسوم عليه، تماما مثل قسمة الأعداد الكلية. نلجأ إلى القسمة الطويلة أو القسمة التركيبية عندما نريد تبسيط عبارات تحتوي على متغيرات بأسس مختلفة، مع مراعاة ترتيب الحدود تنازلياً حسب درجتها لتسهيل مطابقة المعاملات.

الشرح

لكي تقسم كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى باستعمال القسمة الطويلة، اتبع خطوات خوارزمية القسمة: أولا اكتب المقسوم والمقسوم عليه بحيث تكون الحدود مرتبة تنازلياً حسب درجتها، وإذا غاب أي حد ضع مكانه صفرا. ثانياً، اقسم الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه لتحديد الحد الأول من ناتج القسمة. ثالثاً، اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه واكتبه تحت المقسوم ثم اطرحه لتجد الباقي. رأابعاً، كرر العملية حتى يصبح الباقي صفرا أو درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه. أما القسمة التركيبية فهي طريقة مختصرة وسريعة تقسم بها كثيرة حدود على ثنائية حد على صورة $x - r$. تبدأ بكتابة معاملات المقسوم مرتبة تنازلياً، وتكتب الثابت $r$ في صندوق. ثم تنزل المعامل الأول، وتضربه في $r$ وتكتب الناتج أسفل المعامل الذي يليه ثم تجمع الناتج مع المعامل وتكرر الخطوات حتى النهاية للحصول على معاملات ناتج القسمة والباقي.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج قسمة $(x^2 + 3x - 40) ÷ (x - 5)$ باستخدام القسمة الطويلة.

1. اكتب المقسوم تحت إشارة القسمة الطويلة والمقسوم عليه خارجها: x - 5 ig) ar{x^2 + 3x - 40}.
2. اقسم الحد الأول $x^2$ على الحد الأول $x$ فيكون الناتج $x$.
3. اضرب $x$ في $(x - 5)$ فيصبح الناتج $x^2 - 5x$.
4. اطرح هذا الناتج من المقسوم: $(x^2 + 3x) - (x^2 - 5x) = 8x$.
5. أنزل الحد التالي $-40$ ليصبح الجديد $8x - 40$.
6. اقسم الحد الأول $8x$ على $x$ فيكون الناتج $+8$.
7. اضرب $8$ في $(x - 5)$ فيكون الناتج $8x - 40$.
8. اطرحهما ليصبح الباقي صفرا. إذن ناتج القسمة هو $x + 8$ والباقي $0$.

أخطاء شائعة

• نسيان كتابة صفر مكان الحد المفقود في كثيرة الحدود، مثل عدم وضع صفر مكان حد $x^2$ المفقود في $2x^3 - 4x^2 + 6$.
• الخطأ في إشارات الطرح عند طرح المقادير الجبرية تحت بعضها في القسمة الطويلة.
• تطبيق القسمة التركيبية مباشرة عندما يكون معامل $x$ في المقسوم عليه لا يساوي الواحد دون إعادة كتابة العبارة وتعديلها.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد ناتج $(x^2 + 7x - 30) ÷ (x - 3)$. الإجابة: $x + 10$. السؤال الثاني: أوجد ناتج $(2x^3 - 13x^2 + 26x - 24) ÷ (x - 4)$. الإجابة: $2x^2 - 5x + 6$ والباقي $0$.