العمليات على كثيرات الحدود

يقوم درس العمليات على كثيرات الحدود على استخدام خصائص الأسس لتبسيط وحيدات الحد، وتطبيق العمليات الأربع من جمع وطرح وضرب على كثيرات الحدود. تعتمد الفكرة الأساسية على تجميع الحدود المتشابهة في الجمع والطرح، واستعمال خاصية التوزيع في الضرب، مع تطبيق قواعد الأسس مثل ضرب القوى وقسمتها. على سبيل المثال، لتبسيط العبارة $(2a^{-2})(3a^3b^2)$, نضرب العددين ۲ في ۳ ليصبح الناتج ٦، ونجمع أسي المتغير $a$ لتصبح النتيجة $6ab^2$. أما في جمع كثيرات الحدود مثل $(4x^2 - 5x + 6) - (2x^2 + 3x - 1)$, فنوزع الإشارة السالبة ثم نجمع الحدود المتشابهة لنحصل على $2x^2 - 8x + 7$.

الفكرة الأساسية

يقوم هذا الدرس على التعامل مع وحيدات الحد وكثيرات الحدود باستخدام خصائص الأسس لتبسيطها، وإجراء العمليات الحسابية الأساسية عليها مثل الجمع والطرح والضرب.

الشرح

نبدأ بوحيدات الحد وخصائص الأسس. عندما تضرب قوتين لهما نفس الأساس مثل $x^a imes x^b$, فإنك تجمع الأسس لتصبح $x^{a+b}$. وعند قسمة قوتين مثل $\frac{x^a}{x^b}$, فإنك تطرح الأسس لتصبح $x^{a-b}$. أما الأس السالب فيعني مقلوب العبارة، أي أن $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$. وكل عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحداً بشرط أن الأساس لا يساوي صفراً. لكي يكون الحد في أبسط صورة، يجب ألا يتضمن قوى متكررة، ويظهر كل أساس مرة واحدة، وتكون الكصور في أبسط صورة، ولا يتضمن أقواس أو أسساً سالبة. أما كثيرة الحدود فهي حد أو مجموع وحيدات حد. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لوحيدات الحد المكونة لها. في جمع وطرح كثيرات الحدود، تتخلص من الأقواس وتجمع الحدود المتشابهة التي لها نفس المتغير ونفس الأس. في ضرب كثيرات الحدود، تستعمل خاصية التوزيع لتضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج ما يأتي واكتبه في أبسط صورة: $(4x^2 - 5x + 6) - (2x^2 + 3x - 1)$ الخطوة الأولى: تخلص من الأقواس بتوزيع الإشارة السالبة على القوس الثاني، فتصبح العبارة هكذا: $4x^2 - 5x + 6 - 2x^2 - 3x + 1$. الخطوة الثانية: رتب الحدود المتشابهة بجانب بعضها: $(4x^2 - 2x^2) + (-5x - 3x) + (6 + 1)$. الخطوة الثالثة: اجمع المعاملات لكل حدود متشابهة لنصل إلى الناتج النهائي: $2x^2 - 8x + 7$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع عدم توزيع الإشارة السالبة على جميع حدود القوس الثاني عند طرح كثيرات الحدود، حيث ينسى الطالب تغيير إشارة الحد الثاني والثالث. خطأ شائع آخر في الأسس وهو جمع الأسس عند ضرب وحيدتي حد لهما أساسات مختلفة بدلاً من ضرب معاملاتها وجمع أسس المتغيرات المتشابهة فقط.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بسط العبارة الآتية واكتبها في أبسط صورة: $(2x^{-3}y^3)(-7x^5y^{-6})$ الإجابة: نضرب المعاملات $-2 \times -7 = -14$, ونجمع أسس $x$ لتصبح $-3 + 5 = 2$, ونجمع أسس $y$ لتصبح $3 + (-6) = -3$, ثم نكتب الأس السالب في المقام ليصبح الناتج $\frac{-14x^2}{y^3}$.

السؤال الثاني: أوجد ناتج جمع كثيرتي الحدود: $(6x^2 - 7x + 8) + (-4x^2 + 9x - 5)$ الإجابة: نجمع المعاملات للحدود المتشابهة: $6x^2 - 4x^2 = 2x^2$, و$-7x + 9x = 2x$, و$8 - 5 = 3$, ليصبح الناتج النهائي $2x^2 + 2x + 3$.