توسع 2-3 معمل الجبر: مجموع الجذريين وحاصل ضربهما

يقوم هذا الدرس على فكرة ربط جذري المعادلة التربيعية بمعاملاتها. إذا علمنا جذرا معادلة، فيمكننا إيجاد مجموعهم وحاصل ضربهم لكتابة المعادلة الأصلية. الصيغة العامة للمعادلة هي $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a eq 0$، ومجموع الجذرين$$r_{1} + r_{2}$$يساوي$-rac{b}{a}$، بينما حاصل ضربهما$$r_{1}$ ullet $r_{2}$$يساوي$rac{c}{a}$. فمثلاً، إذا كان الجذران هما$-8$و$3$، فإن مجموعهما هو$-5$وحاصل ضربهما هو$-24$، وتكون المعادلة الناتجة هي$x^2 + 5x - 24 = 0$. يتيح لنا هذا القانون بناء أي معادلة تربيعية بكل سهولة بمجرد معرفة جذريها.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة الدرس على إيجاد العلاقة المباشرة بين جذري المعادلة التربيعية وبين معاملات حدودها. إذا أعطاك شخص جذري معادلة وسألك عن المعادلة نفسها، فلا داعي للقسمة المطولة أو الطرق الطويلة، بل تستخدم مجموع الجذرين وحاصل ضربهما لتكوين المعادلة بصورة سريعة ودقيقة.

الشرح

تأمل المعادلة التربيعية بالصورة القياسية $ax^2 + bx + c = 0$ بشرط أن $a eq 0$. إذا فرضنا أن جذري هذه المعادلة هما$$r_{1}$$و$$r_{2}$$، فإن القانون العام يربطهما بالمعاملات كالتالي:

• مجموع الجذرين: r_1 + r_2 = -rac{b}{a}
• حاصل ضرب الجذرين: r_1 ullet r_2 = rac{c}{a}

هذا يعني أن معامل الحد الأوسط $b$ يرتبط بمجموع الجذرين، والحد الثابت $c$ يرتبط بحاصل ضربهما.

مثال محلول خطوة بخطوة

اكتب المعادلة التربيعية التي جذراها $-7$ و $2$.

• الخطوة 1: أوجد مجموع الجذرين بتجمعتهما معاً: $r_1 + r_2 = 2 + (-7) = -5$
• الخطوة 2: أوجد حاصل ضرب الجذرين بضربهما في بعضهما: r_1 ullet r_2 = 2(-7) = -14
• الخطوة 3: اكتب المعادلة بناءً على القيم الناتجة: بما أن مجموع الجذرين -rac{b}{a} = -5، وحاصل الضرب rac{c}{a} = -14، فإذا اخترنا $a = 1$ فإن $b = 5$ و $c = -14$. وبالتالي تصبح المعادلة المطلوبة: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

أخطاء شائعة

• نسيان عكس الإشارة عند إيجاد قيمة $b$ من مجموع الجذرين، حيث إن مجموع الجذرين يساوي -rac{b}{a} وليس rac{b}{a}.
• الخلط بين إشارات الأعداد السالبة والموجبة عند جمع أو ضرب الجذور.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: اكتب المعادلة التربيعية التي مجموع جذريها $4$ وحاصل ضربهما rac{5}{21}.
• الإجابة الأولى: x^2 - 4x + rac{5}{21} = 0
• السؤال الثاني: اكتب المعادلة التربيعية التي جذراها $-2$ و rac{2}{3}.
• الإجابة الثانية: $21x^2 + 32x - 12 = 0$