القانون العام والمميز

يقوم درس القانون العام والمميز على إيجاد حلول أي معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة القياسية $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \neq 0$. القانون العام هو $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ وهو ينقذك حين تعجز طرق التحليل أو إكمال المربع. أما المميز فهو المقدار الواقع تحت الجذر $b^2 - 4ac$ والذي يحدد نوع الجذور وعددها دون الحاجة لإتمام الحل. فمثلاً في المعادلة $x^2 - 10x = 11$ نضعها بالصورة القياسية $x^2 - 10x - 11 = 0$ فنستخرج معاملات $a = 1$ و $b = -10$ و $c = -11$. ثم نعوض في القانون العام لنجد الحلين وهما $11$ و $-1$.

الفكرة الأساسية

تعتمد المعادلات التربيعية على طرق حل متعددة مثل التحليل أو إكمال المربع، لكن بعض المعادلات تكون مستعصية على تلك الطرق. هنا يأتي دور القانون العام الذي يحل أي معادلة تربيعية مكتوبة على الصورة القياسية $ax^2 + bx + c = 0$ بشرط أن $a \neq 0$. ومن رحم هذا القانون يولد المميز $b^2 - 4ac$ ليكشف لك طبيعة الجذور وعددها قبل أن تبدأ في حسابها.

الشرح

انظر إلى الصورة القياسية للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$. المعامل $a$ هو ملازم $x^2$، و $b$ ملازم $x$، و $c$ هو الحد الثابت. عندما ترغب في استخدام القانون العام، عليك أولاً ترتيب المعادلة بهذه الصورة واستخراج قيم $a$ و $b$ و $c$ بدقة مع إشاراتها.

القانون العام هو: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

هذا القانون يتكون من كسر بسطه فيه $-b$ مضافاً ومطروحاً منه الجذر التربيعي للمميز، ومقامه $2a$. علامة $\pm$ تعني أنك ستفصل الحل إلى حلين: الأول بجمع الجذر والثاني بطرحه.

أما الجزء الواقع تحت الجذر في القانون وهو $b^2 - 4ac$ فيسمى المميز. يحكم المميز على جذور المعادلة وفقاً لقيمته:

• إذا كان موجباً ومربعاً كاملاً: يكون هناك جذران حقيقيان نسببيان.
• إذا كان موجباً وليس مربعاً كاملاً: يكون هناك جذران حقيقيان غير نسبيين.
• إذا كان مساوياً لصفر: يكون هناك جذر حقيقي واحد مكرر مرتين.
• إذا كان سالباً: يكون هناك جذران مركبان مترافقان.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $11 = 10x - x^2$ باستعمال القانون العام.

الخطوة الأولى: كتابة المعادلة على الصورة القياسية $ax^2 + bx + c = 0$. بنقل الحدود إلى طرف واحد لتصبح: $x^2 - 10x - 11 = 0$

الخطوة الثانية: تحديد قيم المعاملات $a$ و $b$ و $c$. $a = 1$ $b = -10$ $c = -11$

الخطوة الثالثة: كتابة القانون العام والتعويض بالقیم. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}$

الخطوة الرابعة: التبسيط وإجراء العمليات الحسابية تحت الجذر. $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2}$ $x = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2}$ بما أن جذور $144$ هو $12$، تصبح: $x = \frac{10 \pm 12}{2}$

الخطوة الخامسة: فصل الحل إلى حالتين. الحالة الأولى (الجمع): $x = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$

الحالة الثانية (الطرح): $x = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

إذن الحلان هما: $11$ و $-1$.

أخطاء شائعة

• نسيان كتابة المعادلة على الصورة القياسية أولاً قبل استخراج قيم $a$ و $b$ و $c$، مما يؤدي إلى خطأ في إشارات المعاملات.
• إغفال الأقواس عند التعويض عن قيمة سالبة لـ $b$ في القانون، مثل كتابة $-10^2$ بدلاً من $(-10)^2$.
• الخطأ في تبسيط الكسر عند الوصول إلى النتيجة النهائية عبر قسمة جزء من البسط فقط على المقام.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة التالية باستعمال القانون العام: $x^2 + 6x = 16$ الإجابة: أولاً نرتبها: $x^2 + 6x - 16 = 0$ حيث $a = 1$، $b = 6$، $c = -16$. بالتعويض في القانون العام نجد أن الحلين هما: $x = 2$ و $x = -8$.

السؤال الثاني: أجد قيمة المميز للمعادلة $3x^2 - 11x + 5 = 0$، ثم أعدد عدد الجذور وأنواعها. الإجابة: المعاملات هي $a = 7$ (أو حسب المعادلة المطبوعة $7x^2 - 11x + 5 = 0$)، فيكون المميز: $b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(7)(5) = 121 - 140 = -19$. بما أن المميز سالب (-19)، إذن يوجد جذران مركبان مترافقان.