الأعداد المركبة

تقوم الأعداد المركبة على فكرة إيجاد حلول للمعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية لأعداد سالبة، وذلك عبر تعريف الوحدة التخيلية $i$ بحيث يكون $i^2 = -1$. يتكون العدد المركب من جزأين: جزء حقيقي وجزء تخيلي، ويُكتب على الصورة $a + bi$. لجمع الأعداد المركبة أو طرحها، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية معاً والأجزاء التخيلية معاً، بينما نستخدم خاصية التوزيع وخواص قوى $i$ عند الضرب. أما في القسمة، فنضرب البسط والمقام في المرافق للتخلص من $i$ في المقام. مثال سريع: لتبسيط $\sqrt{-27}$، نكتبه على صورة $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}$ ليصبح الناتج $3i\sqrt{3}$.

الفكرة الأساسية

تظهر الحاجة للأعداد المركبة عندما لا توجد جذور حقيقية للمعادلات التربيعية، مثل المعادلة $x^2 + 2x + 4 = 0$ التي لا يقطع تمثيلها البياني محور $x$. لحل هذه المشكلة، يتم توسيع نظام الأعداد الحقيقية ليشمل الوحدة التخيلية $i$، حيث $i = \sqrt{-1}$ وبالتالي $i^2 = -1$. ينتج عن ذلك تكوين الأعداد المركبة التي تتألف من جزء حقيقي وجزء تخيلي معاً.

الشرح

يُعرّف العدد المركب بأنه أي عدد يمكن كتابته على الصورة $a + bi$؛ حيث $a$ و$b$ عددان حقيقيان، و$i$ هي الوحدة التخيلية. يُسمى $a$ الجزء الحقيقي، ويُسمى $b$ الجزء التخيلي. إذا كان $b = 0$ فإن العدد يكون حقيقياً، وإذا كان $b \neq 0$ يكون تخيليا، وإذا كان $a = 0$ و$b \neq 0$ يكون تخيليا بحتاً. لتبسيط جذور الأعداد السالبة لأي عدد حقيقي موجب $b$، نستخدم القاعدة $\sqrt{-b^2} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-1} = bi$. وفي العمليات الحسابية، تتساوى أعداد مركبة إذا تساوى جزؤها الحقيقيان وجزؤها التخيلقان؛ أي أن $a + bi = c + di$ تعني أن $a = c$ و$b = d$. عند جمع أو طرح الأعداد المركبة، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية المتشابهة معاً، والأجزاء التخيلية المتشابهة معاً. وعند ضرب الأعداد المركبة، نستخدم طريقة التوزيع مع مراعاة أن $i^2 = -1$. يُسمى العددان $a + bi$ و$a - bi$ مركبين مترافقين، وناتج ضربهما هو عدد حقيقي دائماً على الصورة $a^2 + b^2$. نستخدم هذه الحقيقة في قسمة الأعداد المركبة بضرب كل من البسط والمقام في مرافق المقام للتخلص من $i$ في المقام.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج ضرب العددين المركبين $(2 + 4i)(9 - 3i)$:

1. استخدم طريقة التوزيع بالترتيب لضرب الحدود: $2(9) + 2(-3i) + 4i(9) + 4i(-3i)$.
2. أجر عمليات الضرب الناتجة: $18 - 6i + 36i - 12i^2$.
3. عوض عن قيمة $i^2$ بالعدد $-1$: $18 - 6i + 36i - 12(-1)$.
4. بسط واجمع الحدود المتشابهة (الجزء الحقيقي مع الحقيقي والتخيلي مع التخيلي): $18 + 30i + 12$.
5. الناتج النهائي على صورة عدد مركب هو: $30 + 30i$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن $\sqrt{-6} \cdot \sqrt{-15}$ يساوي $\sqrt{(-6)(-15)}$ مباشرة، والصواب هو تحويل كل جذر أولاً بدلالة $i$ هكذا: $i\sqrt{6} \cdot i\sqrt{15}$ لتفادي الخطأ في إشارة السالب تحت الجذر.
• نسيان تعويض القيمة $-1$ مكان $i^2$ أثناء عمليات الضرب أو القسمة.
• جمع الأجزاء الحقيقية مع الأجزاء التخيلية معاً في عملية الجمع، والصواب هو جمع الحقيقي مع الحقيقي والتخيلي مع التخيلي كل على حدة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بسط العبارة التالية: $\sqrt{-27}$ الإجابة: $3i\sqrt{3}$

السؤال الثاني: أوجد ناتج الجمع: $(5 - 7i) + (2 + 4i)$ الإجابة: $7 - 3i$