النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

يقوم هذا الدرس على إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة من النوع $2 \times 2$ واستخدامه في حل أنظمة المعادلات الخطية. الفكرة تشبه الأعداد الحقيقية؛ فكل عدد له نظير ضربي ناتجه معه الواحد، وهنا نستخدم مصفوفة الوحدة $I$ بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في نظيرها مساوياً لـ $I$. لإيجاد النظير للمصفوفة $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ نحسب أولاً محددها $|A|$، فإذا كان لا يساوي صفراً، نطبق القاعدة: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$؛ حيث نبدل عنصري القطر الرئيس ونغير إشارتي القطر الآخر ونضرب في مقلوب المحددة. بعد ذلك، يمكن تحويل أي نظام معادلات إلى معادلة مصفوفة $AX = B$، وحلها بضرب الطرفين في النظير الضربي لنتحصل على $X = A^{-1}B$.

الفكرة الأساسية

تقوم فكرة الدرس على إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة من النوع $2 \times 2$ تماماً مثل مقلوب العدد الحقيقي، واستخدام هذا النظير لحل أنظمة المعادلات الخطية بتمثيلها على صورة معادلة مصفوفة ثم حلها بخطوات جبرية تشبه حل المعادلات البسيطة.

الشرح

نبدأ بمفهوم مصفوفة الوحدة ويرمز لها بالرمز $I$، وهي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيس تساوي واحداً والباقي أصفار. فمثلاً من النوع $2 \times 2$ تكون $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. إذا ضربت أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة فإن الناتج هو المصفوفة نفسها، أي أن $A \cdot I = I \cdot A = A$. إذا كانت المصفوفتان $A$ و$B$ مربعتين ولهما الرتبة نفسها، وكان $A \cdot B = B \cdot A = I$، فإن كل مصفوفتين تسمى نظيراً ضربياً للأخرى، ويرمز لنظير المصفوفة $A$ بالرمز $A^{-1}$، بحيث يتحقق القانون: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$. لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة من النوع $2 \times 2$ نستخدم القانون الآتي: إذا كانت المصفوفة $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$، فإن نظيرها الضربي هو: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ وذلك شريطة ألا تكون قيمة المحددة $|A|$ مساوية لصفر، لأن القسمة على صفر غير معرّفة، وحينها لا يكون للمصفوفة نظير ضربي. ولحل أنظمة المعادلات الخطية، يمكن كتابة النظام على صورة معادلة مصفوفة $AX = B$ حيث $A$ مصفوفة المعاملات، و$X$ مصفوفة المتغيرات، و$B$ مصفوفة الثوابت. ولحل هذه المعادلة نضرب الطرفين من اليسار في $A^{-1}$ فينتج أن $X = A^{-1}B$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد النظير الضربي للمصفوفة $P = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ إن وجد. الخطوة الأولى: احسب قيمة المحددة $|P|$: $|P| = \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (7)(-1) - (-5)(2) = -7 - (-10) = -7 + 10 = 3$ بما أن قيمة المحددة لا تساوي صفراً، فإن $P^{-1}$ موجودة. الخطوة الثانية: طبق قانون النظير الضربي للمصفوفة من الرتبة $2 \times 2$: $P^{-1} = \frac{1}{|P|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ $P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{bmatrix}$ الخطوة الثالثة: بسط بإدخال العدد $\frac{1}{3}$ على جميع عناصر المصفوفة: $P^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{7}{3} \end{bmatrix}$

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن ضرب المصفوفات إبدالي عند التحقق من النظير؛ والصواب أنه يجب التحقق من الاتجاهين وضبط الضرب $A \cdot B$ و$B \cdot A$ والتأكد من تساويها بـ $I$.
• نسيان تبديل موضعي عنصري القطر الرئيس أو تغيير إشارتي عنصري القطر الآخر عند تطبيق قاعدة النظير الضربي.
• محاولة إيجاد نظير ضربي لمصفوفة محدّدتها تساوي صفراً، وهذا مستحيل لأننا سنقسم على صفر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد النظير الضربي للمصفوفة $D = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$ إن وجد. الإجابة: المحددة $|D| = (3)(-4) - (7)(1) = -12 - 7 = -19$. النظير الضربي هو: $D^{-1} = -\frac{1}{19} \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{19} & \frac{7}{19} \\ \frac{1}{19} & -\frac{3}{19} \end{bmatrix}$.

السؤال الثاني: حدد ما إذا كانت المصفوفتان $F = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}$ و$G = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & \frac{5}{8} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \end{bmatrix}$ تمثلاً نظيراً ضربياً للأخرى أم لا. الإجابة: نضرب $F \cdot G$ ونضرب $G \cdot F$؛ فنجد أن الناتج في الحالتين يساوي مصفوفة الوحدة $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$، إذن كل منهما تمثل نظيراً ضربياً للأخرى.