المحددات وقاعدة كرامر

يقوم درس المحددات وقاعدة كرامر على تحويل المصفوفات المربعة إلى أرقام حقيقية تُسمى المحددات، وتُستخدم هذه المحددات في حساب مساحات المثلثات عبر إحداثيات رؤوسها وفي حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر. ففي محددة الدرجة الثانية المكونة من عناصر مثل a وb وc وd، تحسب القيمة بضرب عنصري القطر الرئيس ad مطروحاً منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر cb. أما قاعدة كرامر فتعتمد على إيجاد محددة مصفوفة المعاملات، فإذا لم تساوِ صفراً، فيمكن إيجاد قيم المتغيرات بقسمة محددة المتغير على محددة المعاملات. مثال: لحساب محددة الدرجة الثانية التي عناصر صفها الأول 5 و-4 وصفها الثاني 8 و9، تضرب 5 في 9 وتطرح منها حاصل ضرب 8 في -4 ليكون الناتج 45 مطروحاً منه -32 ليساوي 77.

الفكرة الأساسية

تدور الفكرة حول إيجاد قيمة عددية مرتبطة بكل مصفوفة مربعة تُسمى المحددَة، والتي تمكننا من حل أنظمة المعادلات الخطية بسهولة عبر قاعدة كرامر، وكذلك حساب مساحات المثلثات في المستوى الإحداثي باستخدام رؤوسها.

الشرح

لكل مصفوفة مربعة محددة ترمز لها برمز يحصر عناصرها بين خطين عموديين. ففي محددة الدرجة الثانية التي تُكتب بالشكل $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}$، تتحدد قيمتها بحاصل ضرب عنصري القطر الرئيس $ad$ مطروحاً منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر $cb$، لتصبح القاعدة هي $ad - cb$. أما محددة الدرجة الثالثة فيمكن حسابها بطريقتين: إما باستخدام قاعدة الأقطار عبر إعادة كتابة العمودين الأول والثاني على يمين المحددة، ثم ضرب عناصر القطر الرئيس وموازياته وجمع نواتجها، ثم طرح نواتج ضرب القطر الآخر وموازاته، أو باستخدام محددات المصفوفة من الدرجة الثانية. وعند الانتقال إلى قاعدة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية مثل نظام معادلتين، فنحن نبني مصفوفة المعاملات $C$. فإذا كانت قيمة محدِدة هذه المصفوفة لا تساوي صفراً، فإن للنظام حلاً وحيداً يُحسب بقسمة محددة المتغير على محدِدة المعاملات، بحيث نُبدل عمود المعاملات بالثوابت في كل مرة للمتغير المطلوب إيجاده.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل النظام الآتي باستعمال قاعدة كرامر: $5x - 6y = 15$ $3x + 4y = -29$ الخطوة الأولى: أحسب محددة مصفوفة المعاملات لنظام المعادلات: $|C| = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 5(4) - (3)(-6) = 20 - (-18) = 38$ الخطوة الثانية: أوجد قيمة المتغير $x$ بقسمة محددة المتغير $x$ على محددة المعاملات: $x = \frac{\begin{vmatrix} 15 & -6 \\ -29 & 4 \\ \end{vmatrix}}{38} = \frac{15(4) - (-29)(-6)}{38} = \frac{60 - 174}{38} = \frac{-114}{38} = -3$ الخطوة الثالثة: أوجد قيمة المتغير $y$ بقسمة محددة المتغير $y$ على محددة المعاملات: $y = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 15 \\ 3 & -29 \\ \end{vmatrix}}{38} = \frac{5(-29) - 3(15)}{38} = \frac{-145 - 45}{38} = \frac{-190}{38} = -5$ إذن حل النظام هو الزوج المرتب $(-3, -5)$.

أخطاء شائعة

نسيان وضع القيمة المطلقة عند حساب مساحة المثلث، مما قد يؤدي إلى الناتج السالب للمساحة رغم أن المساحات لا تكون سالبة ابداً. الخطأ في إشارة الأقطار عند ضرب عناصر القطر الرئيس أو القطر الآخر في المحددات. الاعتقاد بوجود حل وحيد للنظام عند تطبيق قاعدة كرامر حتى لو كانت محدِدة مصفوفة المعاملات تساوي صفراً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة المحددة الآتية: $\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 5 & 7 \\ \end{vmatrix}$ الإجابة: الناتج يساوي $8(7) - 5(6) = 56 - 30 = 26$. السؤال الثاني: أوجد قيمة المحددة الآتية: $\begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix}$ الإجابة: الناتج يساوي $5(9) - 8(-4) = 45 - (-32) = 45 + 32 = 77$.