ضرب المصفوفات

يقوم ضرب المصفوفات على فكرة ضرب عناصر صفوف المصفوفة الأولى في عناصر أعمدة المصفوفة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج. لكي يتمكن الشخص من ضرب مصفوفتين، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية. مثلاً، إذا ضربنا المصفوفة ذات الرتبة $3 \times 4$ في المصفوفة ذات الرتبة $4 \times 2$، فإن رتبة المصفوفة الناتجة تكون $3 \times 2$. ومن أهم خصائص الضرب أنه غير إبدالي، بمعنى أن $AB$ لا تساوي بالضرورة $BA$. انظر إلى المثال السريع: ضرب مصفوفة من الرتبة $1 \times 3$ في مصفوفة من الرتبة $3 \times 1$ يعطي مصفوفة ناتجة من الرتبة $1 \times 1$.

الفكرة الأساسية

يقوم درس ضرب المصفوفات على إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين عبر ضرب عناصر صفوف المصفوفة الأولى في عناصر أعمدة المصفوفة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج. لا يجوز ضرب أي مصفوفتين عشوائياً، بل يشترط لتوافق الضرب أن يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية.

الشرح

لكي تفهم متى تجوز عملية الضرب، انظر إلى رتبة المصفوفتين: إذا كانت المصفوفة الأولى ذات الرتبة $m \times r$ والمصفوفة الثانية ذات الرتبة $r \times t$، فإن الرتبتان متساويتان في المنتصف، ويكون الناتج مصفوفة جديدة من الرتبة $m \times t$. أما إذا اختلف عدد أعمدة الأولى عن عدد صفوف الثانية، فالعملية غير معرفة. لإيجاد العنصر في الصف $m$ والعمود $t$ من المصفوفة الناتجة، اضرب عناصر الصف $m$ من الأولى في عناصر العمود $t$ من الثانية بالترتيب واجمع النواتج.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج ضرب المصفوفة $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ في المصفوفة $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$. الخطوة ١: اضرب عناصر الصف الأول في المصفوفة الأولى بعناصر العمود الأول في المصفوفة الثانية واجمع النواتج: $(2 \times 5) + (3 \times 7)$. الخطوة ٢: اضرب عناصر الصف الأول في عناصر العمود الثاني: $(2 \times 6) + (3 \times 8)$. الخطوة ٣: اضرب عناصر الصف الثاني في عناصر العمود الأول: $(1 \times 5) + (4 \times 7)$. الخطوة ٤: اضرب عناصر الصف الثاني في عناصر العمود الثاني: $(1 \times 6) + (4 \times 8)$. الخطوة ٥: بسط النواتج لتصبح المصفوفة النهائية بعد الحساب: $\begin{bmatrix} 31 & 36 \\ 33 & 38 \end{bmatrix}$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الاعتقاد بأن ضرب المصفوفات عملية إبدالية مثل الأعداد الحقيقية؛ فغالباً تكون $AB \neq BA$. ومن الأخطاء أيضاً محاولة ضرب مصفوفتين دون التحقق من تساوي عدد أعمدة الأولى مع عدد صفوف الثانية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: هل عملية ضرب مصفوفة من الرتبة $2 \times 3$ في مصفوفة من الرتبة $3 \times 4$ معرفة؟ وإذا كانت كذلك، فما رتبة المصفوفة الناتجة؟ الإجابة: نعم معرفة لأن عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية (٣)، ورتبة المصفوفة الناتجة هي $2 \times 4$. السؤال الثاني: أوجد ناتج ضرب $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ في $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. الإجابة: المصفوفة الناتجة هي $[11]$ برتبة $1 \times 1$.